Exemples de multiplication de fractions décimales. Multiplier des décimales

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Le but de la leçon :

De manière ludique, initiez les élèves à la règle de multiplication d'une fraction décimale par un nombre naturel, par une unité de valeur de position, ainsi qu'à la règle d'expression d'une fraction décimale en pourcentage. Développer la capacité d'appliquer les connaissances acquises lors de la résolution d'exemples et de problèmes.
Développer et activer la pensée logique des élèves, la capacité d’identifier des modèles et de les généraliser, renforcer la mémoire, la capacité de coopérer, de fournir une assistance, d’évaluer leur propre travail et celui de chacun.
Cultiver l’intérêt pour les mathématiques, l’activité, la mobilité et les compétences en communication.

Équipement: tableau blanc interactif, affiche avec un chiffrement, affiches avec des déclarations de mathématiciens.

Pendant les cours

Organisation du temps.
Arithmétique orale – généralisation du matériel déjà étudié, préparation à l’étude du nouveau matériel.
Explication du nouveau matériel.
Devoir.
Éducation physique mathématique.
Généralisation et systématisation des connaissances acquises de manière ludique à l'aide d'un ordinateur.
Classement.

2. Les gars, aujourd'hui, notre leçon sera quelque peu inhabituelle, car je ne l'enseignerai pas seul, mais avec mon ami. Et mon ami est aussi inhabituel, vous le verrez maintenant. (Un ordinateur de dessin animé apparaît à l'écran.) Mon ami a un nom et il peut parler. Quel est ton nom, mon pote ? Komposha répond : « Je m'appelle Komposha. » Êtes-vous prêt à m'aider aujourd'hui ? OUI! Eh bien, commençons la leçon.

Aujourd'hui, j'ai reçu un chiffrement crypté, les gars, que nous devons résoudre et déchiffrer ensemble. (Une affiche est accrochée au tableau avec un calcul oral pour additionner et soustraire des fractions décimales, à la suite de quoi les enfants reçoivent le code suivant 523914687. )

5	2	3	9	1	4	6	8	7
1	2	3	4	5	6	7	8	9

Komposha aide à déchiffrer le code reçu. Le résultat du décodage est le mot MULTIPLICATION. La multiplication est le mot clé du sujet de la leçon d'aujourd'hui. Le sujet de la leçon est affiché sur le moniteur : « Multiplier une fraction décimale par un nombre naturel »

Les gars, nous savons comment multiplier les nombres naturels. Aujourd'hui, nous allons examiner la multiplication de nombres décimaux par un nombre naturel. La multiplication d'une fraction décimale par un nombre naturel peut être considérée comme une somme de termes dont chacun est égal à cette fraction décimale, et le nombre de termes est égal à cet nombre naturel. Par exemple : 5.21 ·3 = 5,21 + 5,21 + 5,21 = 15,63 Cela signifie 5,21·3 = 15,63. En présentant 5,21 comme fraction commune à un nombre naturel, on obtient

Et dans ce cas nous avons obtenu le même résultat : 15,63. Maintenant, en ignorant la virgule, au lieu du nombre 5,21, prenez le nombre 521 et multipliez-le par cet nombre naturel. Ici, nous devons nous rappeler que dans l'un des facteurs, la virgule a été déplacée de deux places vers la droite. En multipliant les nombres 5, 21 et 3, nous obtenons un produit égal à 15,63. Maintenant, dans cet exemple, nous déplaçons la virgule de deux places vers la gauche. Ainsi, de combien de fois l'un des facteurs a été augmenté, de combien de fois le produit a été diminué. Sur la base des similitudes de ces méthodes, nous tirerons une conclusion.

Pour multiplier une fraction décimale par un nombre naturel, vous devez :
1) sans faire attention à la virgule, multipliez les nombres naturels ;
2) dans le produit obtenu, séparez autant de chiffres à droite par une virgule qu'il y en a dans la fraction décimale.

Les exemples suivants sont affichés sur le moniteur, que nous analysons avec Komposha et les gars : 5,21·3 = 15,63 et 7,624·15 = 114,34. Ensuite, je montre la multiplication par un nombre rond 12,6·50 = 630. Ensuite, je passe à la multiplication d’une fraction décimale par une unité de valeur de position. Je montre les exemples suivants : 7.423 ·100 = 742,3 et 5,2·1000 = 5200. Ainsi, j'introduis la règle pour multiplier une fraction décimale par une unité numérique :

Pour multiplier une fraction décimale par des unités numériques 10, 100, 1000, etc., vous devez déplacer la virgule décimale de cette fraction vers la droite d'autant de places qu'il y a de zéros dans l'unité numérique.

Je termine mon explication en exprimant la fraction décimale sous forme de pourcentage. J'introduis la règle :

Pour exprimer une fraction décimale sous forme de pourcentage, vous devez la multiplier par 100 et ajouter le signe %.

Je vais donner un exemple sur un ordinateur : 0,5 100 = 50 ou 0,5 = 50 %.

4. A la fin de l'explication, je donne aux enfants des devoirs, qui sont également affichés sur l'écran de l'ordinateur : № 1030, № 1034, № 1032.

5. Afin que les gars se reposent un peu, nous faisons une séance d'éducation physique mathématique avec Komposha pour consolider le sujet. Tout le monde se lève, montre les exemples résolus à la classe et doit répondre si l'exemple a été résolu correctement ou incorrectement. Si l'exemple est résolu correctement, ils lèvent les bras au-dessus de leur tête et frappent dans leurs paumes. Si l'exemple n'est pas résolu correctement, les gars tendent les bras sur les côtés et tendent les doigts.

6. Et maintenant que vous vous êtes un peu reposé, vous pouvez résoudre les tâches. Ouvrez votre manuel à la page 205, № 1029. Dans cette tâche, vous devez calculer la valeur des expressions :

Les tâches apparaissent sur l'ordinateur. Au fur et à mesure qu'ils sont résolus, une image apparaît avec l'image d'un bateau qui s'envole une fois entièrement assemblé.

N° 1031 Calculer :

En résolvant cette tâche sur un ordinateur, la fusée se replie progressivement ; après avoir résolu le dernier exemple, la fusée s'envole. Le professeur donne une petite information aux élèves : « Chaque année, des vaisseaux spatiaux décollent du cosmodrome de Baïkonour depuis le sol du Kazakhstan vers les étoiles. Le Kazakhstan construit son nouveau cosmodrome Baiterek près de Baïkonour.

N° 1035. Problème.

Quelle distance une voiture particulière parcourra-t-elle en 4 heures si la vitesse de la voiture particulière est de 74,8 km/h.

Cette tâche est accompagnée d'une conception sonore et d'un bref état de la tâche affiché sur le moniteur. Si le problème est résolu correctement, la voiture commence à avancer jusqu'au drapeau d'arrivée.

№ 1033. Écrivez les décimales sous forme de pourcentages.

0,2 = 20%; 0,5 = 50%; 0,75 = 75%; 0,92 = 92%; 1,24 =1 24%; 3,5 = 350%; 5,61= 561%.

En résolvant chaque exemple, lorsque la réponse apparaît, une lettre apparaît, ce qui donne un mot Bien joué.

Le professeur demande à Komposha pourquoi ce mot apparaîtrait ? Komposha répond : « Bien joué, les gars ! et dit au revoir à tout le monde.

Le professeur résume la leçon et donne des notes.

Dans cet article, nous examinerons l’action de multiplier des nombres décimaux. Commençons par énoncer les principes généraux, puis montrons comment multiplier une fraction décimale par une autre et considérons la méthode de multiplication par colonne. Toutes les définitions seront illustrées par des exemples. Nous verrons ensuite comment multiplier correctement des fractions décimales par des nombres ordinaires, ainsi que des nombres mixtes et naturels (dont 100, 10, etc.)

Dans ce document, nous n'aborderons que les règles de multiplication des fractions positives. Les cas avec des nombres négatifs sont traités séparément dans les articles sur la multiplication des nombres rationnels et réels.

Formulons les principes généraux qui doivent être suivis lors de la résolution de problèmes impliquant la multiplication de fractions décimales.

Rappelons d'abord que les fractions décimales ne sont rien de plus qu'une forme particulière d'écriture des fractions ordinaires. Par conséquent, le processus de multiplication peut être réduit à celui similaire pour les fractions ordinaires. Cette règle fonctionne aussi bien pour les fractions finies que pour les fractions infinies : après les avoir converties en fractions ordinaires, il est facile de multiplier avec elles selon les règles que nous avons déjà apprises.

Voyons comment ces problèmes sont résolus.

Exemple 1

Calculez le produit de 1,5 et 0,75.

Solution : Tout d’abord, remplaçons les fractions décimales par des fractions ordinaires. Nous savons que 0,75 équivaut à 75/100 et 1,5 équivaut à 15/10. Nous pouvons réduire la fraction et sélectionner la partie entière. Nous écrirons le résultat résultant 125 1000 sous la forme 1, 125.

Répondre: 1 , 125 .

On peut utiliser la méthode du comptage de colonnes, tout comme pour les nombres naturels.

Exemple 2

Multipliez une fraction périodique 0, (3) par un autre 2, (36).

Tout d’abord, réduisons les fractions originales aux fractions ordinaires. Nous allons obtenir:

0 , (3) = 0 , 3 + 0 , 03 + 0 , 003 + 0 , 003 + . . . = 0 , 3 1 - 0 , 1 = 0 , 3 9 = 3 9 = 1 3 2 , (36) = 2 + 0 , 36 + 0 , 0036 + . . . = 2 + 0 , 36 1 - 0 , 01 = 2 + 36 99 = 2 + 4 11 = 2 4 11 = 26 11

Par conséquent, 0, (3) · 2, (36) = 1 3 · 26 11 = 26 33.

La fraction ordinaire résultante peut être convertie sous forme décimale en divisant le numérateur par le dénominateur dans une colonne :

Répondre: 0 , (3) · 2 , (36) = 0 , (78) .

Si nous avons des fractions infinies non périodiques dans l'énoncé du problème, nous devons alors effectuer un arrondi préliminaire (voir l'article sur l'arrondi des nombres si vous avez oublié comment procéder). Après cela, vous pouvez effectuer l'action de multiplication avec des fractions décimales déjà arrondies. Donnons un exemple.

Exemple 3

Calculez le produit de 5, 382... et 0, 2.

Solution

Dans notre problème nous avons une fraction infinie qu’il faut d’abord arrondir au centième. Il s'avère que 5,382... ≈ 5,38. Cela n’a aucun sens d’arrondir le deuxième facteur au centième. Vous pouvez maintenant calculer le produit requis et écrire la réponse : 5,38 0,2 = 538 100 2 10 = 1 076 1000 = 1,076.

Répondre: 5,382…·0,2 ≈ 1,076.

La méthode de comptage de colonnes peut être utilisée non seulement pour les nombres naturels. Si nous avons des nombres décimaux, nous pouvons les multiplier exactement de la même manière. Dérivons la règle :

Définition 1

La multiplication de fractions décimales par colonne s'effectue en 2 étapes :

1. Effectuez une multiplication de colonnes sans faire attention aux virgules.

2. Placez un point décimal dans le nombre final, en le séparant par autant de chiffres sur le côté droit que les deux facteurs contiennent ensemble des décimales. Si le résultat ne contient pas suffisamment de chiffres, ajoutez des zéros à gauche.

Regardons des exemples de tels calculs dans la pratique.

Exemple 4

Multipliez les décimales 63, 37 et 0, 12 colonnes.

Solution

Tout d’abord, multiplions les nombres en ignorant les points décimaux.

Maintenant, nous devons mettre la virgule au bon endroit. Cela séparera les quatre chiffres du côté droit car la somme des décimales des deux facteurs est 4. Il n'est pas nécessaire d'ajouter des zéros, car assez de signes :

Répondre: 3,37 0,12 = 7,6044.

Exemple 5

Calculez combien 3,2601 fois 0,0254 font.

Solution

On compte sans virgules. On obtient le numéro suivant :

Nous mettrons une virgule séparant 8 chiffres sur le côté droit, car les fractions originales ont ensemble 8 décimales. Mais notre résultat n'a que sept chiffres, et nous ne pouvons pas nous passer de zéros supplémentaires :

Répondre: 3,2601 0,0254 = 0,08280654.

Comment multiplier un nombre décimal par 0,001, 0,01, 01, etc.

Multiplier des décimales par de tels nombres est courant, il est donc important de pouvoir le faire rapidement et avec précision. Écrivons une règle spéciale que nous utiliserons pour cette multiplication :

Définition 2

Si l'on multiplie une décimale par 0, 1, 0, 01, etc., on obtient un nombre similaire à la fraction originale, avec la virgule décimale déplacée vers la gauche du nombre de places requis. S'il n'y a pas assez de chiffres à transférer, vous devez ajouter des zéros à gauche.

Ainsi, pour multiplier 45, 34 par 0, 1, vous devez déplacer d'une place la virgule décimale de la fraction décimale d'origine. Nous nous retrouverons avec 4 534.

Exemple 6

Multipliez 9,4 par 0,0001.

Solution

Nous devrons déplacer la virgule décimale de quatre places en fonction du nombre de zéros dans le deuxième facteur, mais les nombres dans le premier facteur ne suffisent pas pour cela. Nous attribuons les zéros nécessaires et obtenons que 9,4 · 0,0001 = 0,00094.

Répondre: 0 , 00094 .

Pour les décimales infinies, nous utilisons la même règle. Ainsi, par exemple, 0, (18) · 0, 01 = 0, 00 (18) ou 94, 938... · 0, 1 = 9, 4938.... et etc.

Le processus d’une telle multiplication n’est pas différent de l’action consistant à multiplier deux fractions décimales. Il est pratique d'utiliser la méthode de multiplication de colonnes si l'énoncé du problème contient une fraction décimale finale. Dans ce cas, il faut prendre en compte toutes les règles dont nous avons parlé dans le paragraphe précédent.

Exemple 7

Calculez combien 15 · 2,27 fait.

Solution

Multiplions les nombres d'origine par une colonne et séparons deux virgules.

Répondre: 15 · 2,27 = 34,05.

Si nous multiplions une fraction décimale périodique par un nombre naturel, nous devons d’abord changer la fraction décimale en une fraction ordinaire.

Exemple 8

Calculez le produit de 0 , (42) et 22 .

Réduisons la fraction périodique à la forme ordinaire.

0 , (42) = 0 , 42 + 0 , 0042 + 0 , 000042 + . . . = 0 , 42 1 - 0 , 01 = 0 , 42 0 , 99 = 42 99 = 14 33

0, 42 22 = 14 33 22 = 14 22 3 = 28 3 = 9 1 3

Nous pouvons écrire le résultat final sous la forme d’une fraction décimale périodique sous la forme 9, (3).

Répondre: 0 , (42) 22 = 9 , (3) .

Les fractions infinies doivent d'abord être arrondies avant les calculs.

Exemple 9

Calculez combien 4 · 2, 145... fera.

Solution

Arrondons la fraction décimale infinie originale aux centièmes. Après cela, nous arrivons à multiplier un nombre naturel et une fraction décimale finale :

4 2,145… ≈ 4 2,15 = 8,60.

Répondre: 4 · 2, 145… ≈ 8, 60.

Comment multiplier un nombre décimal par 1000, 100, 10, etc.

Multiplier une fraction décimale par 10, 100, etc. est souvent rencontré dans des problèmes, nous analyserons donc ce cas séparément. La règle de base de la multiplication est la suivante :

Définition 3

Pour multiplier une fraction décimale par 1000, 100, 10, etc., vous devez déplacer sa virgule à 3, 2, 1 chiffres en fonction du multiplicateur et supprimer les zéros supplémentaires à gauche. S'il n'y a pas assez de nombres pour déplacer la virgule, nous ajoutons autant de zéros vers la droite que nécessaire.

Montrons avec un exemple exactement comment procéder.

Exemple 10

Multipliez 100 et 0,0783.

Solution

Pour ce faire, nous devons déplacer la virgule décimale de 2 chiffres vers la droite. Nous nous retrouverons avec 007, 83. Les zéros de gauche peuvent être supprimés et le résultat écrit 7, 38.

Répondre: 0,0783 100 = 7,83.

Exemple 11

Multipliez 0,02 par 10 mille.

Solution : Nous allons déplacer la virgule de quatre chiffres vers la droite. Nous n’avons pas assez de signes pour cela dans la fraction décimale originale, nous devrons donc ajouter des zéros. Dans ce cas, trois 0 suffiront. Le résultat est 0, 02000, déplacez la virgule et obtenez 00200, 0. En ignorant les zéros à gauche, nous pouvons écrire la réponse sous la forme 200.

Répondre: 0,02 · 10 000 = 200.

La règle que nous avons donnée fonctionnera de la même manière dans le cas de fractions décimales infinies, mais ici, vous devez faire très attention à la période de la fraction finale, car il est facile de s'y tromper.

Exemple 12

Calculez le produit de 5,32 (672) fois 1 000.

Solution : tout d'abord, nous écrirons la fraction périodique sous la forme 5, 32672672672..., donc la probabilité de se tromper sera moindre. Après cela, nous pouvons déplacer la virgule jusqu'au nombre de caractères requis (trois). Le résultat sera 5326, 726726... Mettons le point entre parenthèses et écrivons la réponse sous la forme 5 326, (726).

Répondre: 5, 32 (672) · 1 000 = 5 326, (726) .

Si les conditions du problème contiennent des fractions infinies non périodiques qui doivent être multipliées par dix, cent, mille, etc., n'oubliez pas de les arrondir avant de multiplier.

Pour effectuer une multiplication de ce type, vous devez représenter la fraction décimale comme une fraction ordinaire, puis procéder selon les règles déjà familières.

Exemple 13

Multipliez 0, 4 par 3 5 6

Solution

Commençons par convertir la fraction décimale en fraction ordinaire. On a : 0, 4 = 4 10 = 2 5.

Nous avons reçu la réponse sous la forme d'un nombre mixte. Vous pouvez l'écrire sous forme de fraction périodique 1, 5 (3).

Répondre: 1 , 5 (3) .

Si une fraction infinie non périodique est impliquée dans le calcul, vous devez l'arrondir à un certain nombre puis la multiplier.

Exemple 14

Calculez le produit 3, 5678. . . · 2 3

Solution

Nous pouvons représenter le deuxième facteur comme 2 3 = 0, 6666…. Ensuite, arrondissez les deux facteurs à la millième place. Après cela, nous devrons calculer le produit de deux fractions décimales finales 3,568 et 0,667. Comptons avec une colonne et obtenons la réponse :

Le résultat final doit être arrondi au millième, puisque c'est à ce chiffre que l'on a arrondi les nombres initiaux. Il s’avère que 2,379856 ≈ 2,380.

Répondre: 3, 5678. . . · 2 3 ≈ 2 380

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Dans ce tutoriel, nous examinerons chacune de ces opérations séparément.

Contenu de la leçon

Ajouter des décimales

Comme nous le savons, une fraction décimale comporte une partie entière et une partie fractionnaire. Lors de l'ajout de décimales, les parties entières et fractionnaires sont ajoutées séparément.

Par exemple, additionnons les fractions décimales 3,2 et 5,3. Il est plus pratique d’ajouter des fractions décimales dans une colonne.

Écrivons d'abord ces deux fractions dans une colonne, les parties entières étant nécessairement sous les entiers, et les parties fractionnaires sous les fractionnaires. À l'école, cette exigence s'appelle "virgule sous virgule".

Écrivons les fractions dans une colonne pour que la virgule soit sous la virgule :

Nous commençons à additionner les parties fractionnaires : 2 + 3 = 5. Nous écrivons les cinq dans la partie fractionnaire de notre réponse :

Maintenant, nous additionnons les parties entières : 3 + 5 = 8. Nous écrivons un huit dans toute la partie de notre réponse :

Maintenant, nous séparons la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule. Pour ce faire, nous suivons à nouveau la règle "virgule sous virgule":

Nous avons reçu une réponse de 8,5. Donc l'expression 3,2 + 5,3 est égale à 8,5

En fait, tout n’est pas aussi simple qu’il y paraît à première vue. Il y a aussi des pièges ici, dont nous parlerons maintenant.

Places en décimales

Les fractions décimales, comme les nombres ordinaires, ont leurs propres chiffres. Ce sont des places de dixièmes, des places de centièmes, des places de millièmes. Dans ce cas, les chiffres commencent après la virgule.

Le premier chiffre après la virgule est responsable de la position des dixièmes, le deuxième chiffre après la virgule est responsable de la position des centièmes et le troisième chiffre après la virgule est responsable de la position des millièmes.

Les décimales contiennent des informations utiles. Plus précisément, ils vous indiquent combien de dixièmes, centièmes et millièmes il y a dans une décimale.

Par exemple, considérons la fraction décimale 0,345

La position où se trouvent les trois est appelée dixième place

La position où se trouve le quatre est appelée place des centièmes

La position où se trouve le cinq s'appelle millième place

Regardons ce dessin. On voit qu'il y a un trois à la dixième place. Cela nous indique qu'il y a trois dixièmes dans la fraction décimale 0,345.

Si nous additionnons les fractions, nous obtenons la fraction décimale originale 0,345

On peut voir qu'au début nous avons reçu la réponse, mais nous l'avons convertie en fraction décimale et avons obtenu 0,345.

Lors de l'ajout de fractions décimales, les mêmes principes et règles sont suivis que lors de l'ajout de nombres ordinaires. L'addition des fractions décimales s'effectue en chiffres : les dixièmes s'ajoutent aux dixièmes, les centièmes aux centièmes, les millièmes aux millièmes.

Par conséquent, lors de l'ajout de fractions décimales, vous devez suivre la règle "virgule sous virgule". La virgule sous la virgule indique l'ordre même dans lequel les dixièmes sont ajoutés aux dixièmes, les centièmes aux centièmes, les millièmes aux millièmes.

Exemple 1. Trouver la valeur de l'expression 1,5 + 3,4

Tout d'abord, on additionne les parties fractionnaires 5 + 4 = 9. Nous écrivons neuf dans la partie fractionnaire de notre réponse :

Maintenant, nous ajoutons les parties entières 1 + 3 = 4. Nous écrivons les quatre dans la partie entière de notre réponse :

Maintenant, nous séparons la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule. Pour ce faire, nous suivons à nouveau la règle de la « virgule sous virgule » :

Nous avons reçu une réponse de 4,9. Cela signifie que la valeur de l'expression 1,5 + 3,4 est 4,9

Exemple 2. Trouver la valeur de l'expression : 3,51 + 1,22

Nous écrivons cette expression dans une colonne en respectant la règle de la « virgule sous virgule ».

Tout d’abord, on additionne la partie fractionnaire, à savoir les centièmes de 1+2=3. Nous écrivons un triplet dans la centième partie de notre réponse :

Ajoutez maintenant les dixièmes 5+2=7. Nous écrivons un sept dans la dixième partie de notre réponse :

Maintenant, nous ajoutons les parties entières 3+1=4. Nous écrivons les quatre dans toute la partie de notre réponse :

On sépare la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule, en respectant la règle « virgule sous virgule » :

La réponse que nous avons reçue était 4,73. Cela signifie que la valeur de l'expression 3,51 + 1,22 est égale à 4,73

3,51 + 1,22 = 4,73

Comme pour les nombres normaux, lors de l'ajout de décimales, . Dans ce cas, un chiffre est écrit dans la réponse et le reste est transféré au chiffre suivant.

Exemple 3. Trouver la valeur de l'expression 2,65 + 3,27

On écrit cette expression dans la colonne :

Additionnez les centièmes 5+7=12. Le nombre 12 ne rentrera pas dans la centième partie de notre réponse. Par conséquent, dans la centième partie, nous écrivons le nombre 2 et déplaçons l'unité au chiffre suivant :

Maintenant, nous additionnons les dixièmes de 6 + 2 = 8 plus l'unité que nous avons obtenue de l'opération précédente, nous obtenons 9. Nous écrivons le nombre 9 dans le dixième de notre réponse :

Maintenant, nous ajoutons les parties entières 2+3=5. Nous écrivons le chiffre 5 dans la partie entière de notre réponse :

Nous avons reçu une réponse de 5,92. Cela signifie que la valeur de l'expression 2,65 + 3,27 est égale à 5,92

2,65 + 3,27 = 5,92

Exemple 4. Trouver la valeur de l'expression 9,5 + 2,8

Nous écrivons cette expression dans la colonne

Nous additionnons les parties fractionnaires 5 + 8 = 13. Le nombre 13 ne rentrera pas dans la partie fractionnaire de notre réponse, nous écrivons donc d'abord le nombre 3 et déplaçons l'unité au chiffre suivant, ou plutôt, la transférons au partie entière :

Maintenant, nous ajoutons les parties entières 9+2=11 plus l'unité que nous avons obtenue de l'opération précédente, nous obtenons 12. Nous écrivons le nombre 12 dans la partie entière de notre réponse :

Séparez la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule :

Nous avons reçu la réponse 12.3. Cela signifie que la valeur de l'expression 9,5 + 2,8 est 12,3

9,5 + 2,8 = 12,3

Lors de l'ajout de décimales, le nombre de chiffres après la virgule dans les deux fractions doit être le même. S'il n'y a pas assez de nombres, ces emplacements dans la partie fractionnaire sont remplis de zéros.

Exemple 5. Trouvez la valeur de l'expression : 12,725 + 1,7

Avant d’écrire cette expression dans une colonne, faisons en sorte que le nombre de chiffres après la virgule dans les deux fractions soit identique. La fraction décimale 12,725 a trois chiffres après la virgule, mais la fraction 1,7 n'en a qu'un. Cela signifie que dans la fraction 1,7, vous devez ajouter deux zéros à la fin. On obtient alors la fraction 1,700. Vous pouvez maintenant écrire cette expression dans une colonne et commencer à calculer :

Additionnez les millièmes 5+0=5. Nous écrivons le chiffre 5 dans la millième partie de notre réponse :

Additionnez les centièmes 2+0=2. Nous écrivons le chiffre 2 dans la centième partie de notre réponse :

Additionnez les dixièmes 7+7=14. Le nombre 14 ne rentrera pas dans un dixième de notre réponse. Par conséquent, nous écrivons d’abord le nombre 4 et déplaçons l’unité au chiffre suivant :

Maintenant, nous ajoutons les parties entières 12+1=13 plus l'unité que nous avons obtenue de l'opération précédente, nous obtenons 14. Nous écrivons le nombre 14 dans la partie entière de notre réponse :

Séparez la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule :

Nous avons reçu une réponse de 14 425 personnes. Cela signifie que la valeur de l'expression 12,725+1,700 est 14,425

12,725+ 1,700 = 14,425

Soustraire des décimales

Lors de la soustraction de fractions décimales, vous devez suivre les mêmes règles que lors de l'ajout : « virgule sous la virgule décimale » et « un nombre égal de chiffres après la virgule décimale ».

Exemple 1. Trouver la valeur de l'expression 2,5 − 2,2

On écrit cette expression dans une colonne, en respectant la règle de la « virgule sous virgule » :

On calcule la partie fractionnaire 5−2=3. Nous écrivons le chiffre 3 dans la dixième partie de notre réponse :

On calcule la partie entière 2−2=0. Nous écrivons zéro dans la partie entière de notre réponse :

Séparez la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule :

Nous avons reçu une réponse de 0,3. Cela signifie que la valeur de l'expression 2,5 − 2,2 est égale à 0,3

2,5 − 2,2 = 0,3

Exemple 2. Trouver la valeur de l'expression 7,353 - 3,1

Cette expression comporte un nombre différent de décimales. La fraction 7,353 a trois chiffres après la virgule, mais la fraction 3,1 n'en a qu'un. Cela signifie que dans la fraction 3.1, vous devez ajouter deux zéros à la fin pour que le nombre de chiffres dans les deux fractions soit le même. Ensuite, nous obtenons 3 100.

Vous pouvez maintenant écrire cette expression dans une colonne et la calculer :

Nous avons reçu une réponse de 4 253 personnes. Cela signifie que la valeur de l'expression 7,353 − 3,1 est égale à 4,253

7,353 — 3,1 = 4,253

Comme pour les nombres ordinaires, vous devrez parfois en emprunter un à un chiffre adjacent si la soustraction devient impossible.

Exemple 3. Trouver la valeur de l'expression 3,46 − 2,39

Soustrayez les centièmes de 6−9. Vous ne pouvez pas soustraire le nombre 9 du nombre 6. Par conséquent, vous devez en emprunter un au chiffre adjacent. En empruntant un au chiffre adjacent, le nombre 6 se transforme en nombre 16. Vous pouvez maintenant calculer les centièmes de 16−9=7. Nous écrivons un sept dans la centième partie de notre réponse :

Maintenant, nous soustrayons les dixièmes. Puisque nous avons pris une unité à la dixième place, le chiffre qui s'y trouvait a diminué d'une unité. Autrement dit, à la dixième place se trouve désormais non plus le nombre 4, mais le nombre 3. Calculons les dixièmes de 3−3=0. Nous écrivons zéro dans la dixième partie de notre réponse :

Maintenant, nous soustrayons les parties entières 3−2=1. Nous en écrivons un dans la partie entière de notre réponse :

Séparez la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule :

Nous avons reçu une réponse de 1,07. Cela signifie que la valeur de l'expression 3,46−2,39 est égale à 1,07

3,46−2,39=1,07

Exemple 4. Trouver la valeur de l'expression 3−1.2

Cet exemple soustrait une décimale d'un nombre entier. Écrivons cette expression dans une colonne pour que toute la partie de la fraction décimale 1,23 soit sous le chiffre 3

Maintenant, faisons en sorte que le nombre de chiffres après la virgule soit identique. Pour ce faire, après le chiffre 3 on met une virgule et on ajoute un zéro :

Maintenant, nous soustrayons les dixièmes : 0−2. Vous ne pouvez pas soustraire le nombre 2 de zéro. Vous devez donc en emprunter un au chiffre adjacent. Après avoir emprunté un au chiffre voisin, 0 se transforme en nombre 10. Vous pouvez maintenant calculer les dixièmes de 10−2=8. Nous écrivons un huit dans la dixième partie de notre réponse :

Maintenant, nous soustrayons toutes les parties. Auparavant, le numéro 3 était situé dans l'ensemble, mais nous en avons retiré une unité. En conséquence, il est devenu le nombre 2. Par conséquent, de 2 nous soustrayons 1. 2−1=1. Nous en écrivons un dans la partie entière de notre réponse :

Séparez la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule :

La réponse que nous avons reçue était 1,8. Cela signifie que la valeur de l'expression 3−1,2 est 1,8

Multiplier des décimales

Multiplier des décimales est simple et même amusant. Pour multiplier des nombres décimaux, vous les multipliez comme des nombres réguliers, en ignorant les virgules.

Après avoir reçu la réponse, vous devez séparer la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule. Pour ce faire, vous devez compter le nombre de chiffres après la virgule dans les deux fractions, puis compter le même nombre de chiffres en partant de la droite dans la réponse et mettre une virgule.

Exemple 1. Trouver la valeur de l'expression 2,5 × 1,5

Multiplions ces fractions décimales comme des nombres ordinaires, en ignorant les virgules. Pour ignorer les virgules, on peut temporairement imaginer qu'elles sont totalement absentes :

Nous en avons obtenu 375. Dans ce nombre, vous devez séparer la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule. Pour ce faire, vous devez compter le nombre de chiffres après la virgule dans les fractions 2,5 et 1,5. La première fraction a un chiffre après la virgule et la deuxième fraction en a également un. Total deux nombres.

Nous revenons au numéro 375 et commençons à nous déplacer de droite à gauche. Il faut compter deux chiffres vers la droite et mettre une virgule :

Nous avons reçu une réponse de 3,75. La valeur de l'expression 2,5 × 1,5 est donc 3,75

2,5 × 1,5 = 3,75

Exemple 2. Trouvez la valeur de l'expression 12,85 × 2,7

Multiplions ces fractions décimales en ignorant les virgules :

Nous avons reçu 34695. Dans ce numéro, vous devez séparer la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule. Pour ce faire, vous devez compter le nombre de chiffres après la virgule dans les fractions 12,85 et 2,7. La fraction 12,85 a deux chiffres après la virgule et la fraction 2,7 a un chiffre, soit un total de trois chiffres.

Nous revenons au numéro 34695 et commençons à nous déplacer de droite à gauche. Il faut compter trois chiffres en partant de la droite et mettre une virgule :

Nous avons reçu une réponse de 34 695 personnes. La valeur de l'expression 12,85 × 2,7 est donc 34,695

12,85 × 2,7 = 34,695

Multiplier un nombre décimal par un nombre régulier

Parfois, des situations surviennent lorsque vous devez multiplier une fraction décimale par un nombre régulier.

Pour multiplier une décimale et un nombre, on les multiplie sans faire attention à la virgule dans la décimale. Après avoir reçu la réponse, vous devez séparer la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule. Pour ce faire, vous devez compter le nombre de chiffres après la virgule décimale dans la fraction décimale, puis compter le même nombre de chiffres en partant de la droite dans la réponse et mettre une virgule.

Par exemple, multipliez 2,54 par 2

Multipliez la fraction décimale 2,54 par le nombre habituel 2, en ignorant la virgule :

Nous avons obtenu le nombre 508. Dans ce nombre, vous devez séparer la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule. Pour ce faire, vous devez compter le nombre de chiffres après la virgule dans la fraction 2,54. La fraction 2,54 comporte deux chiffres après la virgule.

Nous revenons au numéro 508 et commençons à nous déplacer de droite à gauche. Il faut compter deux chiffres vers la droite et mettre une virgule :

Nous avons reçu une réponse de 5,08. La valeur de l'expression 2,54 × 2 est donc 5,08

2,54 × 2 = 5,08

Multiplier des décimales par 10, 100, 1000

La multiplication de nombres décimaux par 10, 100 ou 1 000 s'effectue de la même manière que la multiplication de nombres décimaux par des nombres réguliers. Vous devez effectuer la multiplication sans faire attention à la virgule dans la fraction décimale, puis dans la réponse, séparer la partie entière de la partie fractionnaire, en comptant à droite le même nombre de chiffres qu'il y avait de chiffres après la virgule décimale.

Par exemple, multipliez 2,88 par 10

Multipliez la fraction décimale 2,88 par 10, en ignorant la virgule dans la fraction décimale :

Nous avons obtenu 2880. Dans ce nombre, vous devez séparer la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule. Pour ce faire, vous devez compter le nombre de chiffres après la virgule dans la fraction 2,88. On voit que la fraction 2,88 a deux chiffres après la virgule.

Nous revenons au nombre 2880 et commençons à nous déplacer de droite à gauche. Il faut compter deux chiffres vers la droite et mettre une virgule :

Nous avons reçu une réponse de 28h80. Laissons tomber le dernier zéro et obtenons 28,8. Cela signifie que la valeur de l'expression 2,88×10 est 28,8

2,88 × 10 = 28,8

Il existe une deuxième façon de multiplier des fractions décimales par 10, 100, 1 000. Cette méthode est beaucoup plus simple et plus pratique. Elle consiste à déplacer la virgule vers la droite d'autant de chiffres qu'il y a de zéros dans le facteur.

Par exemple, résolvons l'exemple précédent 2,88×10 de cette façon. Sans faire aucun calcul, nous regardons immédiatement le facteur 10. Nous nous intéressons au nombre de zéros qu'il contient. Nous voyons qu'il y a un zéro dedans. Maintenant, dans la fraction 2,88, nous déplaçons la virgule décimale vers la droite d'un chiffre, nous obtenons 28,8.

2,88 × 10 = 28,8

Essayons de multiplier 2,88 par 100. Nous regardons immédiatement le facteur 100. Nous nous intéressons au nombre de zéros qu'il contient. On voit qu'il y a deux zéros. Maintenant, dans la fraction 2,88, nous déplaçons la virgule décimale vers la droite de deux chiffres, nous obtenons 288

2,88 × 100 = 288

Essayons de multiplier 2,88 par 1000. Nous regardons immédiatement le facteur 1000. Nous nous intéressons au nombre de zéros qu'il contient. Nous voyons qu'il y a trois zéros. Maintenant, dans la fraction 2,88, nous déplaçons la virgule décimale vers la droite de trois chiffres. Il n’y a pas de troisième chiffre, nous ajoutons donc un autre zéro. En conséquence, nous obtenons 2880.

2,88 × 1 000 = 2 880

Multiplier des décimales par 0,1 0,01 et 0,001

Multiplier des décimales par 0,1, 0,01 et 0,001 fonctionne de la même manière que multiplier une décimale par une décimale. Il faut multiplier les fractions comme des nombres ordinaires, et mettre une virgule dans la réponse, en comptant autant de chiffres à droite qu'il y a de chiffres après la virgule dans les deux fractions.

Par exemple, multipliez 3,25 par 0,1

On multiplie ces fractions comme des nombres ordinaires, en ignorant les virgules :

Nous avons obtenu 325. Dans ce nombre, vous devez séparer la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule. Pour ce faire, vous devez compter le nombre de chiffres après la virgule dans les fractions 3,25 et 0,1. La fraction 3,25 a deux chiffres après la virgule et la fraction 0,1 a un chiffre. Total trois nombres.

Nous revenons au nombre 325 et commençons à nous déplacer de droite à gauche. Nous devons compter trois chiffres à partir de la droite et mettre une virgule. Après avoir compté trois chiffres, nous constatons que les chiffres sont épuisés. Dans ce cas, vous devez ajouter un zéro et ajouter une virgule :

Nous avons reçu une réponse de 0,325. Cela signifie que la valeur de l'expression 3,25 × 0,1 est 0,325

3,25 × 0,1 = 0,325

Il existe une deuxième façon de multiplier des décimales par 0,1, 0,01 et 0,001. Cette méthode est beaucoup plus simple et pratique. Elle consiste à déplacer la virgule vers la gauche d'autant de chiffres qu'il y a de zéros dans le facteur.

Par exemple, résolvons l'exemple précédent 3,25 × 0,1 de cette façon. Sans donner de calculs, regardons immédiatement le multiplicateur de 0,1. Nous nous intéressons au nombre de zéros qu'il contient. Nous voyons qu'il y a un zéro dedans. Maintenant, dans la fraction 3,25, nous déplaçons la virgule décimale d’un chiffre vers la gauche. En déplaçant la virgule d’un chiffre vers la gauche, on voit qu’il n’y a plus de chiffres avant les trois. Dans ce cas, ajoutez un zéro et mettez une virgule. Le résultat est 0,325

3,25 × 0,1 = 0,325

Essayons de multiplier 3,25 par 0,01. On regarde immédiatement le multiplicateur de 0,01. Nous nous intéressons au nombre de zéros qu'il contient. On voit qu'il y a deux zéros. Maintenant, dans la fraction 3,25, nous déplaçons la virgule décimale vers la gauche de deux chiffres, nous obtenons 0,0325

3,25 × 0,01 = 0,0325

Essayons de multiplier 3,25 par 0,001. On regarde immédiatement le multiplicateur de 0,001. Nous nous intéressons au nombre de zéros qu'il contient. Nous voyons qu'il y a trois zéros. Maintenant, dans la fraction 3,25, nous déplaçons la virgule décimale vers la gauche de trois chiffres, nous obtenons 0,00325

3,25 × 0,001 = 0,00325

Ne confondez pas la multiplication de fractions décimales par 0,1, 0,001 et 0,001 avec la multiplication par 10, 100, 1 000. Une erreur typique pour la plupart des gens.

Lors de la multiplication par 10, 100, 1000, la virgule décimale est déplacée vers la droite du même nombre de chiffres qu'il y a de zéros dans le multiplicateur.

Et lors de la multiplication par 0,1, 0,01 et 0,001, la virgule décimale est déplacée vers la gauche du même nombre de chiffres qu'il y a de zéros dans le multiplicateur.

Si au début cela est difficile à retenir, vous pouvez utiliser la première méthode, dans laquelle la multiplication est effectuée comme avec des nombres ordinaires. Dans la réponse, vous devrez séparer la partie entière de la partie fractionnaire, en comptant le même nombre de chiffres à droite qu'il y a de chiffres après la virgule décimale dans les deux fractions.

Diviser un plus petit nombre par un plus grand nombre. Niveau avancé.

Dans l'une des leçons précédentes, nous avons dit qu'en divisant un nombre plus petit par un nombre plus grand, on obtient une fraction dont le numérateur est le dividende et le dénominateur est le diviseur.

Par exemple, pour diviser une pomme en deux, vous devez écrire 1 (une pomme) au numérateur et 2 (deux amis) au dénominateur. En conséquence, nous obtenons la fraction . Cela signifie que chaque ami recevra une pomme. Autrement dit, une demi-pomme. La fraction est la réponse au problème "comment diviser une pomme en deux"

Il s'avère que vous pouvez résoudre ce problème davantage si vous divisez 1 par 2. Après tout, la ligne fractionnaire dans n'importe quelle fraction signifie une division, et donc cette division est autorisée dans la fraction. Mais comment? Nous sommes habitués au fait que le dividende est toujours supérieur au diviseur. Mais ici, au contraire, le dividende est inférieur au diviseur.

Tout deviendra clair si l'on se souvient qu'une fraction signifie écrasement, division, division. Cela signifie que l'unité peut être divisée en autant de parties que vous le souhaitez, et pas seulement en deux parties.

Lorsque vous divisez un nombre plus petit par un nombre plus grand, vous obtenez une fraction décimale dont la partie entière est 0 (zéro). La partie fractionnaire peut être n'importe quoi.

Alors divisons 1 par 2. Résolvons cet exemple avec un coin :

Un ne peut pas être complètement divisé en deux. Si tu poses une question "combien y a-t-il de deux en un" , alors la réponse sera 0. Par conséquent, dans le quotient, nous écrivons 0 et mettons une virgule :

Maintenant, comme d'habitude, on multiplie le quotient par le diviseur pour obtenir le reste :

Le moment est venu où l’ensemble peut être divisé en deux parties. Pour ce faire, ajoutez un autre zéro à droite de celui obtenu :

Nous avons 10. Divisons 10 par 2, nous obtenons 5. Nous écrivons le cinq dans la partie fractionnaire de notre réponse :

Maintenant, nous retirons le dernier reste pour terminer le calcul. Multipliez 5 par 2 pour obtenir 10

Nous avons reçu une réponse de 0,5. La fraction est donc 0,5

Une demi-pomme peut également s’écrire en utilisant la fraction décimale 0,5. Si nous ajoutons ces deux moitiés (0,5 et 0,5), nous obtenons à nouveau la pomme entière originale :

Ce point peut également être compris si l’on imagine comment 1 cm est divisé en deux parties. Si vous divisez 1 centimètre en 2 parties, vous obtenez 0,5 cm

Exemple 2. Trouvez la valeur de l'expression 4:5

Combien y a-t-il de cinq dans un quatre ? Pas du tout. On écrit 0 dans le quotient et on met une virgule :

On multiplie 0 par 5, on obtient 0. On écrit un zéro sous les quatre. Soustrayez immédiatement ce zéro du dividende :

Commençons maintenant à diviser (diviser) les quatre en 5 parties. Pour ce faire, ajoutez un zéro à droite de 4 et divisez 40 par 5, on obtient 8. On écrit huit dans le quotient.

On complète l'exemple en multipliant 8 par 5 pour obtenir 40 :

Nous avons reçu une réponse de 0,8. Cela signifie que la valeur de l'expression 4:5 est de 0,8

Exemple 3. Trouver la valeur de l'expression 5 : 125

Combien de nombres font 125 sur cinq ? Pas du tout. On écrit 0 dans le quotient et on met une virgule :

On multiplie 0 par 5, on obtient 0. On écrit 0 sous les cinq. Soustrayez immédiatement 0 de cinq

Commençons maintenant à diviser (diviser) les cinq en 125 parties. Pour ce faire, on écrit un zéro à droite de ce cinq :

Divisez 50 par 125. Combien y a-t-il de nombres 125 dans le nombre 50 ? Pas du tout. Donc dans le quotient on écrit encore 0

Multipliez 0 par 125, nous obtenons 0. Écrivez ce zéro sous 50. Soustrayez immédiatement 0 de 50

Divisez maintenant le nombre 50 en 125 parties. Pour ce faire, on écrit un autre zéro à droite de 50 :

Divisez 500 par 125. Combien de nombres font 125 dans le nombre 500. Il y a quatre nombres 125 dans le nombre 500. Écrivez les quatre dans le quotient :

On complète l'exemple en multipliant 4 par 125 pour obtenir 500

Nous avons reçu une réponse de 0,04. Cela signifie que la valeur de l'expression 5 : 125 est 0,04

Diviser des nombres sans reste

Alors, mettons une virgule après l'unité dans le quotient, indiquant ainsi que la division des parties entières est terminée et que l'on passe à la partie fractionnaire :

Ajoutons zéro au reste 4

Divisons maintenant 40 par 5, nous obtenons 8. Nous écrivons huit dans le quotient :

40−40=0. Il nous en reste 0. Cela signifie que la division est complètement terminée. En divisant 9 par 5, on obtient la fraction décimale 1,8 :

9: 5 = 1,8

Exemple 2. Divisez 84 par 5 sans reste

Tout d’abord, divisez 84 par 5 comme d’habitude avec un reste :

Nous en avons eu 16 en privé et il en reste 4 autres. Divisons maintenant ce reste par 5. Mettez une virgule dans le quotient et ajoutez 0 au reste 4

Divisons maintenant 40 par 5, nous obtenons 8. Nous écrivons le huit dans le quotient après la virgule décimale :

et complétez l'exemple en vérifiant s'il reste encore un reste :

Diviser un nombre décimal par un nombre régulier

Une fraction décimale, comme nous le savons, se compose d’un nombre entier et d’une partie fractionnaire. Lorsque vous divisez une fraction décimale par un nombre régulier, vous devez d'abord :

divisez toute la partie de la fraction décimale par ce nombre ;
une fois la partie entière divisée, vous devez immédiatement mettre une virgule dans le quotient et continuer le calcul, comme dans une division normale.

Par exemple, divisez 4,8 par 2

Écrivons cet exemple dans un coin :

Maintenant, divisons la partie entière par 2. Quatre divisé par deux est égal à deux. On en écrit deux dans le quotient et on met immédiatement une virgule :

Maintenant, nous multiplions le quotient par le diviseur et voyons s'il y a un reste de la division :

4−4=0. Le reste est nul. On n’écrit pas encore zéro, puisque la solution n’est pas terminée. Ensuite, nous continuons à calculer comme dans une division ordinaire. Retirez 8 et divisez-le par 2

8 : 2 = 4. On écrit le quatre dans le quotient et on le multiplie immédiatement par le diviseur :

Nous avons reçu une réponse de 2,4. La valeur de l'expression 4,8:2 est 2,4

Exemple 2. Trouver la valeur de l'expression 8,43 : 3

Divisez 8 par 3, nous obtenons 2. Mettez immédiatement une virgule après le 2 :

Maintenant, nous multiplions le quotient par le diviseur 2 × 3 = 6. Nous écrivons le six sous le huit et trouvons le reste :

Divisez 24 par 3, nous obtenons 8. Nous écrivons huit dans le quotient. Multipliez-le immédiatement par le diviseur pour trouver le reste de la division :

24−24=0. Le reste est nul. Nous n'écrivons pas encore zéro. On soustrait les trois derniers du dividende et on divise par 3, on obtient 1. Multipliez immédiatement 1 par 3 pour compléter cet exemple :

La réponse que nous avons reçue était 2,81. Cela signifie que la valeur de l'expression 8,43 : 3 est 2,81

Diviser une décimale par une décimale

Pour diviser une fraction décimale par une fraction décimale, vous devez déplacer la virgule décimale du dividende et du diviseur vers la droite du même nombre de chiffres qu'il y a après la virgule décimale du diviseur, puis diviser par le nombre habituel.

Par exemple, divisez 5,95 par 1,7

Écrivons cette expression avec un coin

Maintenant, dans le dividende et dans le diviseur, nous déplaçons la virgule vers la droite du même nombre de chiffres qu'il y a après la virgule dans le diviseur. Le diviseur a un chiffre après la virgule. Cela signifie que dans le dividende et le diviseur, nous devons déplacer la virgule décimale d’un chiffre vers la droite. Nous transférons :

Après avoir déplacé la virgule vers la droite d’un chiffre, la fraction décimale 5,95 est devenue la fraction 59,5. Et la fraction décimale 1,7, après avoir déplacé la virgule décimale d'un chiffre vers la droite, s'est transformée en le nombre habituel 17. Et nous savons déjà comment diviser une fraction décimale par un nombre régulier. Un calcul ultérieur n'est pas difficile :

La virgule est déplacée vers la droite pour faciliter la division. Ceci est autorisé car lors de la multiplication ou de la division du dividende et du diviseur par le même nombre, le quotient ne change pas. Qu'est-ce que ça veut dire?

C’est l’une des caractéristiques intéressantes de la division. C'est ce qu'on appelle la propriété du quotient. Considérons l'expression 9 : 3 = 3. Si dans cette expression le dividende et le diviseur sont multipliés ou divisés par le même nombre, alors le quotient 3 ne changera pas.

Multiplions le dividende et le diviseur par 2 et voyons ce qui en résulte :

(9 × 2) : (3 × 2) = 18 : 6 = 3

Comme le montre l’exemple, le quotient n’a pas changé.

La même chose se produit lorsque l’on déplace la virgule dans le dividende et dans le diviseur. Dans l’exemple précédent, où nous avons divisé 5,91 par 1,7, nous avons déplacé la virgule du dividende et du diviseur d’un chiffre vers la droite. Après avoir déplacé la virgule décimale, la fraction 5,91 a été transformée en fraction 59,1 et la fraction 1,7 a été transformée en le nombre habituel 17.

En fait, à l’intérieur de ce processus, il y a eu une multiplication par 10. Voici à quoi cela ressemblait :

5,91 × 10 = 59,1

Par conséquent, le nombre de chiffres après la virgule décimale dans le diviseur détermine par quoi le dividende et le diviseur seront multipliés. En d’autres termes, le nombre de chiffres après la virgule décimale dans le diviseur déterminera le nombre de chiffres dans le dividende et dans le diviseur, la virgule décimale sera déplacée vers la droite.

Diviser un nombre décimal par 10, 100, 1000

Diviser un nombre décimal par 10, 100 ou 1 000 se fait de la même manière que . Par exemple, divisez 2,1 par 10. Résolvez cet exemple en utilisant un coin :

Mais il existe une deuxième façon. C'est plus léger. L'essence de cette méthode est que la virgule du dividende est déplacée vers la gauche d'autant de chiffres qu'il y a de zéros dans le diviseur.

Résolvons l'exemple précédent de cette façon. 2.1 : 10. Nous regardons le diviseur. Nous nous intéressons au nombre de zéros qu'il contient. On voit qu'il y a un zéro. Cela signifie que dans le dividende de 2,1, vous devez déplacer la virgule décimale d'un chiffre vers la gauche. Nous déplaçons la virgule d’un chiffre vers la gauche et voyons qu’il ne reste plus de chiffres. Dans ce cas, ajoutez un autre zéro avant le nombre. En conséquence, nous obtenons 0,21

Essayons de diviser 2,1 par 100. Il y a deux zéros dans 100. Cela signifie que dans le dividende 2.1, nous devons déplacer la virgule de deux chiffres vers la gauche :

2,1: 100 = 0,021

Essayons de diviser 2,1 par 1000. Il y a trois zéros dans 1000. Cela signifie que dans le dividende 2.1, vous devez déplacer la virgule de trois chiffres vers la gauche :

2,1: 1000 = 0,0021

Diviser une décimale par 0,1, 0,01 et 0,001

Diviser une fraction décimale par 0,1, 0,01 et 0,001 se fait de la même manière que . Dans le dividende et dans le diviseur, vous devez déplacer la virgule vers la droite d'autant de chiffres qu'il y a après la virgule dans le diviseur.

Par exemple, divisons 6,3 par 0,1. Tout d’abord, déplaçons les virgules du dividende et du diviseur vers la droite du même nombre de chiffres qu’il y a après la virgule décimale du diviseur. Le diviseur a un chiffre après la virgule. Cela signifie que nous déplaçons les virgules du dividende et du diviseur vers la droite d'un chiffre.

Après avoir déplacé la virgule décimale d'un chiffre vers la droite, la fraction décimale 6,3 devient le nombre habituel 63, et la fraction décimale 0,1 après avoir déplacé la virgule décimale vers la droite d'un chiffre se transforme en un. Et diviser 63 par 1 est très simple :

Cela signifie que la valeur de l'expression 6,3 : 0,1 est 63

Mais il existe une deuxième façon. C'est plus léger. L'essence de cette méthode est que la virgule du dividende est déplacée vers la droite d'autant de chiffres qu'il y a de zéros dans le diviseur.

Résolvons l'exemple précédent de cette façon. 6,3 : 0,1. Regardons le diviseur. Nous nous intéressons au nombre de zéros qu'il contient. On voit qu'il y a un zéro. Cela signifie que dans le dividende de 6,3, vous devez déplacer la virgule décimale d'un chiffre vers la droite. Déplacez la virgule vers la droite d'un chiffre et obtenez 63

Essayons de diviser 6,3 par 0,01. Le diviseur de 0,01 comporte deux zéros. Cela signifie que dans le dividende 6,3, nous devons déplacer la virgule décimale vers la droite de deux chiffres. Mais dans le dividende, il n’y a qu’un seul chiffre après la virgule. Dans ce cas, vous devez ajouter un autre zéro à la fin. En conséquence, nous obtenons 630

Essayons de diviser 6,3 par 0,001. Le diviseur de 0,001 comporte trois zéros. Cela signifie que dans le dividende 6,3, nous devons déplacer la virgule décimale vers la droite de trois chiffres :

6,3: 0,001 = 6300

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§ 1 Application de la règle de multiplication des fractions décimales

Dans cette leçon, vous vous familiariserez avec et apprendrez à appliquer la règle de multiplication des décimales et la règle de multiplication d'une décimale par une unité de valeur de position telle que 0,1, 0,01, etc. De plus, nous examinerons les propriétés de la multiplication lors de la recherche des valeurs d'expressions contenant des décimales.

Résolvons le problème :

La vitesse du véhicule est de 59,8 km/h.

Quelle distance la voiture parcourra-t-elle en 1,3 heure ?

Comme vous le savez, pour trouver un chemin, il faut multiplier la vitesse par le temps, c'est-à-dire 59,8 fois 1,3.

Écrivons les nombres dans une colonne et commençons à les multiplier, sans faire attention aux virgules : 8 multiplié par 3, cela devient 24, 4 on écrit 2 dans notre tête, 3 multiplié par 9 fait 27, plus plus 2, on obtient 29, on écrivez 9, 2 dans nos têtes. Maintenant, nous multiplions 3 par 5, cela devient 15 et ajoutons 2, nous obtenons 17.

Passons à la deuxième ligne : 1 multiplié par 8, on obtient 8, 1 multiplié par 9, on obtient 9, 1 multiplié par 5, on obtient 5, additionnons ces deux lignes, on obtient 4, 9+8 égale 17, 7 on écrit 1 dans notre tête, 7 +9 fait 16 et 1 de plus, ce sera 17, 7 on écrit 1 dans sa tête, 1+5 et 1 de plus on obtient 7.

Voyons maintenant combien de décimales il y a dans les deux fractions décimales ! La première fraction a un chiffre après la virgule décimale et la deuxième fraction a un chiffre après la virgule décimale, soit seulement deux chiffres. Cela signifie que sur le côté droit du résultat, vous devez compter deux chiffres et mettre une virgule, c'est-à-dire sera 77,74. Ainsi, en multipliant 59,8 par 1,3, nous obtenons 77,74. Cela signifie que la réponse au problème est 77,74 km.

Ainsi, pour multiplier deux fractions décimales il vous faut :

Premièrement : faites la multiplication sans faire attention aux virgules

Deuxièmement : dans le produit obtenu, séparez par une virgule autant de chiffres à droite qu'il y a après la virgule décimale dans les deux facteurs réunis.

S'il y a moins de chiffres dans le produit résultant qu'il ne faut séparer par une virgule, alors un ou plusieurs zéros doivent être ajoutés devant.

Par exemple : 0,145 multiplié par 0,03 dans notre produit, nous obtenons 435, et une virgule doit séparer 5 chiffres vers la droite, nous ajoutons donc 2 zéros supplémentaires devant le chiffre 4, mettons une virgule et ajoutons un autre zéro. Nous obtenons la réponse 0,00435.

§ 2 Propriétés de la multiplication des fractions décimales

Lors de la multiplication de fractions décimales, toutes les mêmes propriétés de multiplication qui s'appliquent aux nombres naturels sont préservées. Terminons quelques tâches.

Tâche n°1 :

Résolvons cet exemple en appliquant la propriété distributive de multiplication par rapport à l'addition.

Retirons 5,7 (facteur commun) des parenthèses, laissant 3,4 plus 0,6 entre parenthèses. La valeur de cette somme est 4, et maintenant 4 doit être multiplié par 5,7, on obtient 22,8.

Tâche n°2 :

Appliquons la propriété commutative de multiplication.

Nous multiplions d’abord 2,5 par 4, nous obtenons 10 nombres entiers, et maintenant nous devons multiplier 10 par 32,9 et nous obtenons 329.

De plus, lors de la multiplication de fractions décimales, vous pouvez remarquer ce qui suit :

Lors de la multiplication d'un nombre par une fraction décimale impropre, c'est-à-dire supérieur ou égal à 1, il augmente ou ne change pas, par exemple :

Lors de la multiplication d'un nombre par une fraction décimale appropriée, c'est-à-dire inférieur à 1, il diminue, par exemple :

Résolvons un exemple :

23,45 multiplié par 0,1.

Il faut multiplier 2,345 par 1 et séparer trois virgules vers la droite, on obtient 2,345.

Résolvons maintenant un autre exemple : 23,45 divisé par 10, nous devons déplacer la décimale d'une place vers la gauche car il y a 1 zéro dans l'unité numérique, nous obtenons 2,345.

De ces deux exemples on peut conclure que multiplier un nombre décimal par 0,1, 0,01, 0,001, etc. signifie diviser le nombre par 10, 100, 1000, etc., c'est-à-dire Dans une fraction décimale, vous devez déplacer la virgule vers la gauche d’autant de positions qu’il y a de zéros avant le 1 dans le facteur.

A l'aide de la règle résultante, on retrouve les valeurs des produits :

13,45 fois 0,01

il y a 2 zéros devant le chiffre 1, donc déplacez la virgule décimale vers la gauche de 2 places, on obtient 0,1345.

0,02 fois 0,001

Il y a 3 zéros devant le chiffre 1, ce qui signifie qu'on déplace la virgule de trois places vers la gauche, on obtient 0,00002.

Ainsi, dans cette leçon, vous avez appris à multiplier des fractions décimales. Pour ce faire, il vous suffit d'effectuer la multiplication, sans faire attention aux virgules, et dans le produit obtenu, de séparer par une virgule autant de chiffres à droite qu'il y a après la virgule décimale dans les deux facteurs réunis. De plus, nous nous sommes familiarisés avec la règle de multiplication d'une fraction décimale par 0,1, 0,01, etc., et avons également examiné les propriétés de multiplication de fractions décimales.

Liste de la littérature utilisée :

Mathématiques 5ème année. Vilenkin N.Ya., Jokhov V.I. et autres. 31e éd., effacé. - M : 2013.
Matériel didactique pour les mathématiques de 5e année. Auteur - Popov M.A. - année 2013
Nous calculons sans erreurs. Travaillez avec l'autotest dans les classes de mathématiques 5-6. Auteur - Minaeva S.S. - année 2014
Matériel didactique pour les mathématiques de 5e année. Auteurs : Dorofeev G.V., Kuznetsova L.V. - 2010
Tests et travaux indépendants en mathématiques 5e année. Auteurs - Popov M.A. - année 2012
Mathématiques. 5e année : pédagogique. pour les étudiants de l'enseignement général. institutions / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - 9e éd., effacé. - M. : Mnémosyne, 2009