Identic nu este o expresie egală. Expresii identice egale: definiție, exemple
După ce ne-am ocupat de conceptul de identități, putem trece la studiul expresiilor identice egale. Scopul acestui articol este de a explica ce este și de a arăta cu exemple care expresii vor fi identice cu altele.
Expresii identice egale: definiție
Conceptul de expresii identice egale este de obicei studiat împreună cu conceptul de identitate în sine, ca parte a unui curs de algebră școlară. Iată definiția de bază luată dintr-un manual:
Definiția 1
Identic egal reciproc vor exista astfel de expresii, ale căror valori vor fi aceleași pentru orice valori posibile ale variabilelor incluse în componența lor.
De asemenea, acele expresii numerice cărora le vor corespunde aceleași valori sunt considerate identic egale.
Aceasta este o definiție destul de largă, care va fi adevărată pentru toate expresiile întregi a căror semnificație nu se schimbă atunci când se schimbă valorile variabilelor. Cu toate acestea, mai târziu devine necesară clarificarea acestei definiții, deoarece pe lângă numerele întregi, există și alte tipuri de expresii care nu vor avea sens cu anumite variabile. Acest lucru dă naștere conceptului de admisibilitate și inadmisibilitate a anumitor valori variabile, precum și necesitatea de a determina intervalul de valori admisibile. Să formulăm o definiție rafinată.
Definiția 2
Expresii identice egale– sunt acele expresii ale căror valori sunt egale între ele pentru orice valori admisibile ale variabilelor incluse în componența lor. Expresiile numerice vor fi identice între ele, cu condiția ca valorile să fie aceleași.
Expresia „pentru orice valori valide ale variabilelor” indică toate acele valori ale variabilelor pentru care ambele expresii vor avea sens. Vom explica acest punct mai târziu când vom da exemple de expresii identice egale.
De asemenea, puteți oferi următoarea definiție:
Definiția 3
Expresiile identice egale sunt expresii situate în aceeași identitate în partea stângă și în partea dreaptă.
Exemple de expresii care sunt identice între ele
Folosind definițiile date mai sus, să ne uităm la câteva exemple de astfel de expresii.
Să începem cu expresii numerice.
Exemplul 1
Astfel, 2 + 4 și 4 + 2 vor fi identic între ele, deoarece rezultatele lor vor fi egale (6 și 6).
Exemplul 2
În același mod, expresiile 3 și 30 sunt identic egale: 10, (2 2) 3 și 2 6 (pentru a calcula valoarea ultimei expresii trebuie să cunoașteți proprietățile gradului).
Exemplul 3
Dar expresiile 4 - 2 și 9 - 1 nu vor fi egale, deoarece valorile lor sunt diferite.
Să trecem la exemple de expresii literale. a + b și b + a vor fi identic egali, iar acest lucru nu depinde de valorile variabilelor (egalitatea expresiilor în acest caz este determinată de proprietatea comutativă a adunării).
Exemplul 4
De exemplu, dacă a este egal cu 4 și b este egal cu 5, atunci rezultatele vor fi în continuare aceleași.
Un alt exemplu de expresii identice cu litere este 0 · x · y · z și 0 . Oricare ar fi valorile variabilelor în acest caz, atunci când sunt înmulțite cu 0, acestea vor da 0. Expresiile inegale sunt 6 · x și 8 · x, deoarece nu vor fi egale pentru niciun x.
În cazul în care zonele valorilor admisibile ale variabilelor coincid, de exemplu, în expresiile a + 6 și 6 + a sau a · b · 0 și 0, sau x 4 și x și valorile expresiile în sine sunt egale pentru orice variabilă, atunci astfel de expresii sunt considerate identic egale. Deci, a + 8 = 8 + a pentru orice valoare a lui a și a · b · 0 = 0, deoarece înmulțirea oricărui număr cu 0 are ca rezultat 0. Expresiile x 4 și x vor fi identic egale pentru orice x din intervalul [ 0 , + ∞) .
Dar intervalul de valori valide dintr-o expresie poate fi diferit de intervalul alteia.
Exemplul 5
De exemplu, să luăm două expresii: x − 1 și x - 1 · x x. Pentru primul dintre ele, intervalul de valori admisibile ale lui x va fi întregul set de numere reale, iar pentru al doilea - setul tuturor numerelor reale, cu excepția lui zero, deoarece atunci vom obține 0 în numitor, iar o astfel de împărțire nu este definită. Aceste două expresii au un interval comun de valori format prin intersecția a două intervale separate. Putem concluziona că ambele expresii x - 1 · x x și x - 1 vor avea sens pentru orice valoare reală a variabilelor, cu excepția lui 0.
Proprietatea de bază a fracției ne permite, de asemenea, să concluzionam că x - 1 · x x și x - 1 vor fi egale pentru orice x care nu este 0. Acest lucru înseamnă că în gama generală de valori admisibile, aceste expresii vor fi identice între ele, dar pentru orice x real nu putem vorbi de egalitate identică.
Dacă înlocuim o expresie cu alta, care este identic egală cu ea, atunci acest proces se numește transformare de identitate. Acest concept este foarte important și vom vorbi despre el în detaliu într-un material separat.
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Ambele părți sunt expresii identice egale. Identitățile sunt împărțite în alfabetice și numerice.
Expresii identitare
Se numesc două expresii algebrice identic(sau identic egale), dacă pentru orice valori numerice ale literelor au aceeași valoare numerică. Acestea sunt, de exemplu, expresii:
X(5 + X) și 5 X + X 2
Ambele au prezentat expresii, pentru orice valoare X vor fi egale între ele, deci pot fi numite identice sau identic egale.
Expresiile numerice care sunt egale între ele pot fi numite și identice. De exemplu:
20 - 8 și 10 + 2
Identități de litere și numere
Identitatea literală este o egalitate care este valabilă pentru orice valori ale literelor incluse în ea. Cu alte cuvinte, o egalitate în care ambele părți sunt expresii identice, de exemplu:
(A + b)m = a.m + bm
(A + b) 2 = A 2 + 2ab + b 2
Identitatea numerică este o egalitate care conține numai numere exprimate în cifre, în care ambele părți au aceeași valoare numerică. De exemplu:
4 + 5 + 2 = 3 + 8
5 (4 + 6) = 50
Transformări identice ale expresiilor
Toate operațiile algebrice sunt o transformare a unei expresii algebrice în alta, identică cu prima.
Când se calculează valoarea unei expresii, se deschid parantezele, se plasează un factor comun în afara parantezei și într-o serie de alte cazuri, unele expresii sunt înlocuite cu altele care sunt identice cu ele. Se numește înlocuirea unei expresii cu alta, identic egală cu aceasta transformare identică a expresiei sau pur și simplu transformând expresia. Toate transformările expresiilor sunt efectuate pe baza proprietăților operațiilor asupra numerelor.
Să luăm în considerare transformarea identică a unei expresii folosind exemplul de luare a factorului comun din paranteze:
10X - 7X + 3X = (10 - 7 + 3)X = 6X
După ce ați obținut o idee despre identități, este logic să treceți la cunoștință. În acest articol vom răspunde la întrebarea ce sunt expresiile identice egale și vom folosi, de asemenea, exemple pentru a înțelege care expresii sunt identice și care nu sunt.
Navigare în pagină.
Ce sunt expresii identice egale?
Definiția expresiilor identic egale este dată în paralel cu definiția identității. Acest lucru se întâmplă la clasa de algebră de clasa a VII-a. În manualul de algebră pentru clasa a VII-a de autorul Yu. N. Makarychev, este dată următoarea formulare:
Definiție.
– sunt expresii ale căror valori sunt egale pentru orice valori ale variabilelor incluse în acestea. Expresiile numerice care au valori identice sunt, de asemenea, numite identic egale.
Această definiție este folosită până la nota 8; este valabilă pentru expresiile întregi, deoarece au sens pentru orice valoare a variabilelor incluse în ele. Și în clasa a 8-a se clarifică definiția expresiilor identic egale. Să explicăm cu ce se leagă asta.
În clasa a VIII-a începe studiul altor tipuri de expresii, care, spre deosebire de expresiile întregi, pot să nu aibă sens pentru unele valori ale variabilelor. Acest lucru ne obligă să introducem definiții ale valorilor permise și inacceptabile ale variabilelor, precum și gama de valori admisibile ale valorii variabilei și, în consecință, să clarificăm definiția expresiilor identice egale.
Definiție.
Două expresii ale căror valori sunt egale pentru toate valorile admisibile ale variabilelor incluse în ele se numesc expresii identice egale. Două expresii numerice având aceleași valori sunt numite și identic egale.
În această definiție a expresiilor identice egale, merită clarificat sensul expresiei „pentru toate valorile permise ale variabilelor incluse în ele”. Implica toate astfel de valori ale variabilelor pentru care ambele expresii identice au sens în același timp. Vom explica această idee în paragraful următor, analizând exemple.
Definiția expresiilor identice egale în manualul lui A. G. Mordkovich este dată puțin diferit:
Definiție.
Expresii identice egale– acestea sunt expresii din partea stângă și dreaptă a identității.
Semnificația acestei definiții și cele anterioare coincid.
Exemple de expresii identice egale
Definițiile introduse în paragraful precedent ne permit să dăm exemple de expresii identice egale.
Să începem cu expresii numerice identice. Expresiile numerice 1+2 și 2+1 sunt identice, deoarece corespund valorilor egale 3 și 3. Expresiile 5 și 30:6 sunt, de asemenea, identice, la fel ca și expresiile (2 2) 3 și 2 6 (valorile acestor din urmă expresii sunt egale în virtutea lui). Dar expresiile numerice 3+2 și 3−2 nu sunt identice, deoarece corespund valorilor 5 și, respectiv, 1 și nu sunt egale.
Acum să dăm exemple de expresii identice cu variabile. Acestea sunt expresiile a+b și b+a. Într-adevăr, pentru orice valoare a variabilelor a și b, expresiile scrise iau aceleași valori (după cum urmează din numere). De exemplu, cu a=1 și b=2 avem a+b=1+2=3 și b+a=2+1=3 . Pentru orice alte valori ale variabilelor a și b, vom obține și valori egale ale acestor expresii. Expresiile 0·x·y·z și 0 sunt, de asemenea, identice pentru orice valoare a variabilelor x, y și z. Dar expresiile 2 x și 3 x nu sunt identice, deoarece, de exemplu, atunci când x=1 valorile lor nu sunt egale. Într-adevăr, pentru x=1, expresia 2·x este egală cu 2·1=2, iar expresia 3·x este egală cu 3·1=3.
Când intervalele de valori admisibile ale variabilelor din expresii coincid, ca, de exemplu, în expresiile a+1 și 1+a, sau a·b·0 și 0, sau și, și valorile acestor expresii sunt egale pentru toate valorile variabilelor din aceste zone, atunci aici totul este clar - aceste expresii sunt identice pentru toate valorile permise ale variabilelor incluse în ele. Deci a+1≡1+a pentru orice a, expresiile a·b·0 și 0 sunt identic pentru orice valori ale variabilelor a și b, iar expresiile și sunt identic egale pentru toate x din ; editat de S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVII-a. - M.: Educație, 2008. - 240 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Se spune că două expresii sunt identice pe un set dacă au semnificație pe acest set și toate valorile lor corespunzătoare sunt egale.
Se numește o egalitate în care părțile stânga și dreaptă sunt expresii identice egale identitate.
Se numește înlocuirea unei expresii cu o alta care este identic cu ea într-o mulțime dată transformare identică a expresiei.
Sarcină. Găsiți sfera unei expresii.
Soluţie. Deoarece expresia este o fracție, pentru a-și găsi domeniul de definiție trebuie să găsiți acele valori ale variabilei X, la care numitorul devine zero și eliminați-le. După ce am rezolvat ecuația X 2 - 9 = 0, aflăm că X= -3 și X= 3. Prin urmare, domeniul de definire al acestei expresii este format din toate numerele, altele decât -3 și 3. Dacă o notăm prin X, atunci putem scrie:
X= (-¥; -3) È (-3; 3) È (3; +¥).
Sarcină. Sunt expresiile și X- 2 identic egali: a) pe platou R; b) pe mulţimea numerelor întregi diferite de zero?
Soluţie. a) Pe un platou R aceste expresii nu sunt identic egale, de când X= 0 expresia nu are sens, iar expresia X- 2 are valoarea -2.
b) Pe mulțimea numerelor întregi altele decât zero, aceste expresii sunt identic egale, deoarece = 
.
Sarcină. La ce valori X următoarele egalități sunt identități:
A) 
; b) .
Soluţie. a) Egalitatea este o identitate dacă ;
b) Egalitatea este o identitate dacă .
Să luăm în considerare două egalități:
1. a 12 *a 3 = a 7 *a 8
Această egalitate va fi valabilă pentru orice valoare a variabilei a. Gama de valori acceptabile pentru acea egalitate va fi întregul set de numere reale.
2. a 12: a 3 = a 2 *a 7 .
Această inegalitate va fi adevărată pentru toate valorile variabilei a, cu excepția unui egal cu zero. Intervalul de valori acceptabile pentru această inegalitate va fi întregul set de numere reale, cu excepția zero.
Pentru fiecare dintre aceste egalități se poate susține că va fi adevărat pentru orice valori admisibile ale variabilelor a. Astfel de egalități în matematică se numesc identități.
Conceptul de identitate
O identitate este o egalitate care este adevărată pentru orice valori admisibile ale variabilelor. Dacă înlocuiți orice valoare validă în această egalitate în loc de variabile, ar trebui să obțineți o egalitate numerică corectă.
Este de remarcat faptul că adevăratele egalități numerice sunt și identități. Identitățile, de exemplu, vor fi proprietăți ale acțiunilor asupra numerelor.
3. a + b = b + a;
4. a + (b + c) = (a + b) + c;
6. a*(b*c) = (a*b)*c;
7. a*(b + c) = a*b + a*c;
11. a*(-1) = -a.
Dacă două expresii pentru orice variabile admisibile sunt, respectiv, egale, atunci se numesc astfel de expresii identic egale. Mai jos sunt câteva exemple de expresii identice:
1. (a 2) 4 și a 8 ;
2. a*b*(-a^2*b) şi -a3*b2;
3. ((x 3 *x 8)/x) și x 10.
Putem înlocui întotdeauna o expresie cu orice altă expresie identică cu prima. O astfel de înlocuire va fi o transformare de identitate.
Exemple de identități
Exemplul 1: sunt identice următoarele egalități:
1. a + 5 = 5 + a;
2. a*(-b) = -a*b;
3. 3*a*3*b = 9*a*b;
Nu toate expresiile prezentate mai sus vor fi identități. Dintre aceste egalități, doar 1, 2 și 3 egalități sunt identități. Indiferent ce numere înlocuim în ele, în loc de variabilele a și b vom obține în continuare egalități numerice corecte.
Dar egalitatea nu mai este o identitate. Pentru că această egalitate nu va fi valabilă pentru toate valorile valide. De exemplu, cu valorile a = 5 și b = 2, se va obține următorul rezultat:
Această egalitate nu este adevărată, deoarece numărul 3 nu este egal cu numărul -3.
