8.3 законы сохранения механической энергии и импульса. Московский государственный университет печати

Механической энергии.

Зависимости импульса от скорости движения двух тел. Масса какого тела больше и во сколько раз? 1) Массы тел одинаковы 2) Масса тела 1больше в 3,5 раза 3) Масса тела 2больше в 3,5 раза 4) По графикам нельзя сравнить массы тел

Движущийся со скоростью v, налетает на покоящийся пластилиновый шарик массой 2т. После удара шарики, слипшись, движутся вместе. Какова скорость их движения? 1) v/3 2) 2v/3 3) v/2 4) Для ответа не хватает данных

Движутся по прямолинейному железнодорожному пути со скоростями, зависимость проекций которых на ось, параллельную путям, от времени показана на рисунке. Через 20 с между вагонами произошла автосцепка. С какой скоростью, и в какую сторону поедут сцепленные вагоны? 1) 1,4 м/с, в сторону начального движения 1. 2) 0,2 м/с, в сторону начального движения 1. 3) 1,4 м/с, в сторону начального движения 2. 4) 0,2 м/с, в сторону начального движения 2.

Величина, показывающая, какую работу может совершить тело Совершенная работа – равна изменению энергии тела

Соответствии с уравнением x: = 2 + 30 t - 2 t2, записанным в СИ. Масса тела 5 кг. Какова кинетическая энергия тела через 3 с после начала движения? 1) 810 Дж 2) 1440 Дж 3) 3240 Дж 4) 4410 Дж

Деформированного тела

Этом совершается работа2 Дж. Какую следует совершить работу, чтобы растянуть пружину еще на 4 см. 1) 16 Дж 2) 4 Дж 3) 8 Дж 4) 2 Дж

Определить кинетическую энергию Ек, которую имеет тело в верхней точке траектории (см.рис.)? 1) EK=mgH 2) EK=m(V0)2/2 + mgh-mgH 3) EK=mgH-mgh 4) EK=m(V0)2/2 + mgH

Одинаковой начальной скоростью. Первый раз вектор скорости мяча был направлен вертикально вниз, второй раз - вертикально вверх, третий раз - горизонтально. Сопротивлением воздуха пренебречь. Модуль скорости мяча при подлете к земле будет: 1) больше в первом случае 2) больше во втором случае 3) больше в третьем случае 4) одинаковым во всех случаях

Фотография установки по исследованию скольжения каретки массой 40 г по наклонной плоскости под углом 30º. В момент начала движения верхний датчик включает секундомер. При прохождения кареткой нижнего датчика секундомер выключается. Оцените количество теплоты, которое выделилось при скольжении каретки по наклонной плоскости между датчиками.

Опускается из точки 1в точку 3 (рис.). В какой из точек траектории его кинетическая энергия имеет наибольшее значение? 1) В точке 1. 2) В точке 2. 3) В точке 3. 4) Во всех точках значения энергии одинаковы.

Поднимаются по противоположному его склону на высоту 2 м (до точки 2 на рисунке) и останавливаются. Масса санок 5 кг. Их скорость на дне оврага была равна 10 м/с. Как изменилась полная механическая энергия санок при движении из точки 1в точку 2? 1) Не изменилась. 2) Возросла на 100 Дж. 3) Уменьшилась на 100 Дж. 4) Уменьшилась на 150 Дж. 2

На рисунке изображены графики зависимости импульса от скорости движения двух тел. Масса какого тела больше и во сколько раз?

1) Массы тел одинаковы

2) Масса тела 1 больше в 3,5 раза

3) Масса тела 2 больше

4) По графикам нельзя

сравнить массы тел

Пластилиновый шарик массой т, движущийся со скоростью V , налетает на покоящийся пластилиновый шарик массой 2т. После удара шарики, слипшись, движутся вместе. Какова скорость их движения?

1) v /3

3) v /2

4) Для ответа не хватает данных

Вагоны массой m = 30 т и m = 20 т движутся по прямолинейному железнодорожному пути со скоростями, зависимость проекций которых на ось, параллельную путям, от времени показана на рисунке. Через 20 с между вагонами произошла автосцепка. С какой скоростью, и в какую сторону поедут сцепленные вагоны?

1) 1,4 м/с, в сторону начального движения 1.

2) 0,2 м/с, в сторону начального движения 1.

3) 1,4 м/с, в сторону начального движения 2 .

4) 0,2 м/с, в сторону начального движения 2 .

Энергия (Е) – физическая величина, показывающая, какую работу может совершить тело

Совершенная работа – равна изменению энергии тела

Координата тела меняется в соответствии с уравнением x : = 2 + 30 t - 2 t 2 , записанным в СИ. Масса тела 5 кг. Какова кинетическая энергия тела через 3 с после начала движения?

1) 810 Дж

2) 1440 Дж

3) 3240 Дж

4) 4410 Дж

Пружину растягивают на 2см . При этом совершается работа 2 Дж. Какую следует совершить работу, чтобы растянуть пружину еще на 4 см.

1) 16 Дж

2) 4 Дж

3) 8 Дж

4) 2 Дж

По какой из формул можно определить кинетическую энергию Е к, которую имеет тело в верхней точке траектории (см.рис.)?

2) E K =m(V 0) 2 /2 + mgh-mgH

4) E K =m(V 0) 2 /2 + mgH

Мяч бросали с балкона 3 раза с одинаковой начальной скоростью. Первый раз вектор скорости мяча был направлен вертикально вниз, второй раз - вертикально вверх, третий раз - горизонтально. Сопротивлением воздуха пренебречь. Модуль скорости мяча при подлете к земле будет:

1) больше в первом случае

2) больше во втором случае

3) больше в третьем случае

4) одинаковым во всех случаях

Парашютист равномерно опускается из точки 1 в точку 3 (рис.). В какой из точек траектории его кинетическая энергия имеет наибольшее значение?

1) В точке 1.

2) В точке 2 .

3) В точке 3.

4) Во всех точках значения

энергии одинаковы.

Съехав со склона оврага, санки поднимаются по противоположному его склону на высоту 2 м (до точки 2 на рисунке) и останавливаются. Масса санок 5 кг. Их скорость на дне оврага была равна 10 м/с. Как изменилась полная механическая энергия санок при движении из точки 1 в точку 2?

1) Не изменилась.

2) Возросла на 100 Дж.

3) Уменьшилась на 100 Дж.

4) Уменьшилась на 150 Дж.

Движение в природе не возникает из ничего и не исчезает – оно передаётся от одного объекта к другому. При определённых условиях, движение в состоянии накапливаться, но, высвобождаясь, обнаруживает своё свойство к сохранению.

Задумывались ли вы когда-нибудь почему:

• Мяч, летящий с большой скоростью, футболист может остановить ногой или головой, а вагон, движущийся по рельсам даже очень медленно, человек не остановит (масса вагона намного больше массы мяча).
• Стакан с водой находится на длинной полоске прочной бумаги. Если тянуть полоску медленно, то стакан движется вместе с бумагой. а если резко дернуть полоску бумаги - стакан остается неподвижный. (стакан останется неподвижным из-за инерции - явления сохранения скорости тела постоянной при отсутствии действия на него других тел)
• Теннисный мяч, попадая в человека, вреда не причиняет, однако пуля, которая меньше по массе, о движется с большой скоростью (600-800 м/с), оказывается смертельно опасной (скорость пули намного болше, чем мяча).

Значит, результат взаимодействия тел зависит и от массы тел и от их скорости одновременно.

Еще великий французский философ, математик, физик и физиолог, основатель новоевропейского рационализма и один из влиятельнейших метафизиков Нового времени ввел такое понятие как "количество движения". Он же высказал закон сохранения количества движения, дал понятие импульса силы.

"Я принимаю, что во Вселенной... есть известное количество движения, которое никогда не увеличивается, не уменьшается, и, таким образом, если одно тело приводит в движение другое, то теряет столько своего движения, сколько его сообщает." Р. Декарт

Декарт, судя по его высказываниям, понимал фундаментальное значение введенного им в XVII веке понятия количества движения - или импульса тела - как произведения массы тела на величину его скорости. И хотя он совершил ошибку, не рассматривая количество движения как векторную величину, сформулированный им закон сохранения количества движения выдержал с честью проверку временем. В начале XVIII века ошибка была исправлена, и триумфальное шествие этого закона в науке и технике продолжается по сию пору.

Как один из основополагающих законов физики, он дал неоценимое орудие исследования ученым, ставя запрет одним процессам и открывая дорогу другим. Взрыв, реактивное движение, атомные и ядерные превращения - везде превосходно работает этот закон. А в скольких самых обиходных ситуациях помогает разобраться понятие импульса, сегодня, мы надеемся, вы убедитесь сами.

Количество движения - мера механического движения, равная для материальной точки произведению её массыm на скорость v. Количество движения mv - величина векторная, направленная так же, как скорость точки. Иногда Количество движения называют ещёимпульсом . Количество движения, в любой момент времени, характеризуется скоростью объекта определённой массы при перемещении его из одной точки пространства в другую.

Импульсом тела (или количеством движения) называют векторную величину, равную произведению массы тела на его скорость:

Импульс тела направлен в ту же сторону, что и скорость тела .

Единицей измерения импульса в СИ является 1 кг·м/с.

Изменение импульса тела происходит при взаимодействии тел, например, при ударах. (Видео "Бильярдные шары). При взаимодействии тел импульс одного тела может частично или полностью передаваться другому телу.

Виды соударений:

Абсолютно неупругий удар - это такое ударное взаимодействие, при котором тела соединяются (слипаются) друг с другом и движутся дальше как одно тело.

Пуля застревает в бруске и далее они движутся как одно целое Кусок пластелина прилипает к стене

Абсолютно упругий удар - это столкновение, при котором сохраняется механическая энергия системы тел.

Шарики после столкновения отскакивают друг от друга в разные стороны Мяч отскакивает от стены

Пусть на тело массой m в течение некоторого малого промежутка времени Δt действовала сила F.

Под действием этой силы скорость тела изменилась на

Следовательно, в течение времени Δt тело двигалось с ускорением

Из основного закона динамики (второго закона Ньютона) следует:

Физическая величина, равная произведению силы на время ее действия , называется импульсом силы :

Импульс силы также является векторной величиной .

Импульс силы равен изменению импульса тела (II закон Ньютона в импульсной форме ):

Обозначив импульс тела буквой p второй закон Ньютона можно записать в виде:

Именно в таком общем виде сформулировал второй закон сам Ньютон. Сила в этом выражении представляет собой равнодействующую всех сил, приложенных к телу.

Для определения изменения импульса удобно использовать диаграмму импульсов, на которой изображаются вектора импульсов, а также вектор суммы импульсов, построенный по правилу параллелограмма.

При рассмотрении любой механической задачи мы интересуемся движением определенного числа тел. Совокупность тел, движение которой мы изучаем, называется механической системой или просто системой.

В механике часто встречаются задачи, когда необходимо одновременно рассматривать несколько тел, движущихся по-разному. Таковы, например, задачи о движении небесных тел, о соударении тел, об отдаче огнестрельного оружия, где и снаряд и пушка начинают двигаться после выстрела, и т. д. В этих случаях говорят о движении системы тел: солнечной системы, системы двух соударяющихся тел, системы «пушка - снаряд» и т. п. Между телами системы действуют некоторые силы. В солнечной системе это силы всемирного тяготения, в системе соударяющихся тел - силы упругости, в системе «пушка - снаряд» - силы, создаваемые пороховыми газами.

Импульс системы тел будет равен сумме импульсов каждого из тел. входящих в систему.

Кроме сил, действующих со стороны одних тел системы на другие («внутренние силы»), на тела могут действовать еще силы со стороны тел, не принадлежащих системе («внешние» силы); например, на соударяющиеся бильярдные шары действует еще сила тяжести и упругость стола, на пушку и снаряд также действует сила тяжести и т. п. Однако в ряде случаев всеми внешними силами можно пренебрегать. Так, при изучении соударения катящихся шаров силы тяжести уравновешены для каждого шара в отдельности и потому не влияют на их движение; при выстреле из пушки сила тяжести окажет свое действие на полет снаряда только после вылета его из ствола, что не скажется на величине отдачи. Поэтому часто можно рассматривать движения системы тел, полагая, что внешние силы отсутствуют.

Если на систему тел не действуют внешние силы со стороны других тел, такая система называется замкнутой.

ЗАМКНУТАЯ СИСТЕМА – ЭТО СИСТЕМА ТЕЛ, КОТОРЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮТ ТОЛЬКО ДРУГ С ДРУГОМ .

Закон сохранения импульса.

В замкнутой системе векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему, остается постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой.

Закон сохранения импульса служит основой для объяснения обширного круга явлений природы, применяется в различных науках:

1. Закон строго выполняется в явлениях отдачи при выстреле, явлении реактивного движения, взрывных явлениях и явлениях столкновения тел.
2. Закон сохранения импульса применяют: при расчетах скоростей тел при взрывах и соударениях; при расчетах реактивных аппаратов; в военной промышленности при проектировании оружия; в технике - при забивании свай, ковке металлов и т.д

Энергетические характеристики движения вводятся на основе понятия механической работы или работы силы.

Если на тело действует сила и тело под действием этой силы перемещается, то говорят, что сила совершает работу.

Механическая работа – это скалярная величина, равная произведению модуля силы, действующей на тело, на модуль перемещения и на косинус угла между вектором силы и вектором перемещения (или скорости).

Работа является скалярной величиной. Она может быть как положительна (0° ≤ α < 90°), так и отрицательна (90° < α ≤ 180°). При α = 90° работа, совершаемая силой, равна нулю.

В системе СИ работа измеряется в джоулях (Дж) . Джоуль равен работе, совершаемой силой в 1 Н на перемещении 1 м в направлении действия силы.

Работа силы, совершаемая в единицу времени, называется мощностью .

Мощность N – физическая величина, равная отношению работы A к промежутку времени t, в течение которого совершена эта работа :

В Международной системе (СИ) единица мощности называется ватт (Вт) . Ватт равен мощности силы, совершающей работу в 1 Дж за время 1 с.

Внесистемная единица мощности 1 л.с.=735 Вт

Связь между мощностью и скоростью при равномерном движении :

N=A/t так как A=FScosα тогда N=(FScosα)/t, но S/t = v следовательно

N= F v cos α

В технике используются единицы работы и мощности:

1 Вт·с = 1 Дж; 1Вт·ч = 3,6·10 3 Дж; 1кВт·ч = 3,6·10 6 Дж

Если тело способно совершить работу, то говорят, что оно обладает энергией.

Механическая энергия тела – это скалярная величина, равная максимальной работе, которая может быть совершена в данных условиях.

Обозначается Е Единица энергии в СИ

Механическая работа есть мера изменения энергии в различных процессах А = ΔЕ.

Различают два вида механической энергии – кинетическая Ек и потенциальная Е p энергия.

Полная механическая энергия тела равна сумме его кинетической и потенциальной энергий

Е = Ек + Е p

Кинетическая энергия – это энергия тела, обусловленная его движением.

Физическая величина, равная половине произведения массы тела на квадрат его скорости, называется кинетической энергией тела :

Кинетическая энергия – это энергия движения. Кинетическая энергия тела массой m , движущегося со скоростью равна работе, которую должна совершить сила, приложенная к покоящемуся телу, чтобы сообщить ему эту скорость:

Если тело движется со скоростью , то для его полной остановки необходимо совершить работу

Наряду с кинетической энергией или энергией движения в физике важную роль играет понятиепотенциальной энергии или энергии взаимодействия тел .

Потенциальная энергия – энергия тела, обусловленная взаимным расположением взаимодействующих между собой тел или частей одного тела.

Понятие потенциальной энергии можно ввести только для сил, работа которых не зависит от траектории движения тела и определяется только начальным и конечным положениями . Такие силы называются консервативными . Работа консервативных сил на замкнутой траектории равна нулю .

Свойством консервативности обладают сила тяжести и сила упругости . Для этих сил можно ввести понятие потенциальной энергии.

П отенциальная энергия тела в поле силы тяжести (потенциальная энергия тела, поднятого над землёй):

Ep = mgh

Она равна работе, которую совершает сила тяжести при опускании тела на нулевой уровень.

Понятие потенциальной энергии можно ввести и для упругой силы . Эта сила также обладает свойством консервативности. Растягивая (или сжимая) пружину, мы можем делать это различными способами.

Можно просто удлинить пружину на величину x, или сначала удлинить ее на 2x, а затем уменьшить удлинение до значения x и т. д. Во всех этих случаях упругая сила совершает одну и ту же работу, которая зависит только от удлинения пружины x в конечном состоянии, если первоначально пружина была недеформирована. Эта работа равна работе внешней силы A, взятой с противоположным знаком:

где k – жесткость пружины.

Растянутая (или сжатая) пружина способна привести в движение прикрепленное к ней тело, то есть сообщить этому телу кинетическую энергию. Следовательно, такая пружина обладает запасом энергии. Потенциальной энергией пружины (или любого упруго деформированного тела) называют величину

Потенциальная энергия упруго деформированного тела равна работе силы упругости при переходе из данного состояния в состояние с нулевой деформацией.

Если в начальном состоянии пружина уже была деформирована, а ее удлинение было равно x1, тогда при переходе в новое состояние с удлинением x2 сила упругости совершит работу, равную изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком:

Потенциальная энергия при упругой деформации – это энергия взаимодействия отдельных частей тела между собой силами упругости.

Если тела, составляющие замкнутую механическую систему , взаимодействуют между собой только силами тяготения и упругости, то работа этих сил равна изменению потенциальной энергии тел, взятому с противоположным знаком:

A = –(Ep2 – Ep1).

По теореме о кинетической энергии эта работа равна изменению кинетической энергии тел:

Следовательно Ek2 – Ek1 = –(Ep2 – Ep1) или Ek1 + Ep1 = Ek2 + Ep2.

Сумма кинетической и потенциальной энергии тел, составляющих замкнутую систему и взаимодействующих между собой силами тяготения и силами упругости, остается неизменной.

Это утверждение выражает закон сохранения энергии в механических процессах. Он является следствием законов Ньютона.

Сумму E = Ek + Ep называют полной механической энергией .

Полная механическая энергия замкнутой системы тел, взаимодействующих между собой только консервативными силами, при любых движениях этих тел не изменяется. Происходят лишь взаимные превращения потенциальной энергии тел в их кинетическую энергию, и наоборот, или переход энергии от одного тела к другому.

Е = Ек + Е p = const

Закон сохранения механической энергии выполняется только тогда, когда тела в замкнутой системе взаимодействуют между собой консервативными силами, то есть силами, для которых можно ввести понятие потенциальной энергии.

В реальных условиях практически всегда на движущиеся тела наряду с силами тяготения, силами упругости и другими консервативными силами действуют силы трения или силы сопротивления среды.

Сила трения не является консервативной. Работа силы трения зависит от длины пути.

Если между телами, составляющими замкнутую систему, действуют силы трения, то механическая энергия не сохраняется. Часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию тел (нагревание).

Нить с подвешенным на ней грузом отклонили на угол α и отпустили. На какой угол β отклонится нить с грузом, если при своем движении она будет задержана штифтом, поставленным на вертикали, посередине длины нити?

Ответ

β = arccos(2cosα -1).

1. Тело брошено вертикально вверх со скоростью v 0 = 16 м/с. На какой высоте h кинетическая энергия тела равна его потенциальной энергии?

2. С какой начальной скоростью надо бросить мяч с высоты h , чтобы он подпрыгнул на высоту 2h ? Удар упругий. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ

1. h ≈ 6,5 м.

С башни высотой H = 25 м горизонтально брошен камень со скоростью v 0 = 15 м/с. Найти кинетическую (K ) и потенциальную (U ) энергии камня спустя одну секунду после начала движения. Масса камня m = 0,2 кг. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ

K = 32,2 Дж; U = 39,4 Дж.

Определить величину кинетической энергии K тела массой 1 кг, брошенного горизонтально со скоростью 20 м/с, в конце четвертой секунды его движения. Принять g =10 м/с 2 .

Ответ

K = 1000 Дж.

Гибкий однородный канат длиной L лежит на гладком горизонтальном столе. Один конец каната находится у края стола. В некоторый момент от небольшого толчка канат начал двигаться, непрерывно соскальзывая со стола. Как зависит ускорение и скорость каната от длины х куска его, свешивающегося со стола? Какова будет скорость каната к моменту, когда он сползет со стола?

Ответ

a = xg /L ; ; .

Канат длиной L переброшен через штырь. В начальный момент концы каната находились на одном уровне. После слабого толчка канат пришел в движение. Определить скорость v каната к моменту, когда он соскользнет со штыря. Трением пренебречь.

Ответ

Конькобежец, разогнавшись до скорости v = 27 км/ч, въезжает на ледяную гору. На какую высоту H от начального уровня въедет конькобежец с разгона, если подъем горы составляет h = 0,5 м на каждые s = 10 м по горизонтали и коэффициент трения коньков о лед k = 0,02?

Ответ

H ≈ 2 м.

Тело массой m = 1,5 кг, брошенное вертикально вверх с высоты h = 4,9 м со скоростью v 0 = 6 м/с, упало на землю со скоростью v = 5 м/с. Определить работу сил сопротивления воздуха.

Ответ

A ≈ -80,2 Дж.

Камень массой 50 г, брошенный под углом к горизонту с высоты 20 м над поверхностью земли со скоростью 18 м/с, упал на землю со скоростью 24 м/с. Найти работу по преодолению сил сопротивления воздуха.

Ответ

A ≈ 3,5 Дж.

Самолет массой m = 10 3 кг летит горизонтально на высоте H = 1200 м со скоростью v 1 = 50 м/с. Затем мотор отключается, самолет переходит в планирующий полет и достигает земли со скоростью v 2 = 25 м/с. Определить среднюю силу сопротивления воздуха при спуске, принимая длину спуска равной 8 км.

Ответ

F ср ≈ 1570 Н.

Тело массой m = 1 кг движется по столу, имея в начальной точке скорость v 0 = 2 м/с. Достигнув края стола, высота которого h = 1 м, тело падает. Коэффициент трения тела о стол k = 0,1. Определить количество теплоты, выделившееся при неупругом ударе о землю. Путь, пройденный телом по столу, s = 2 м.

Ответ

Q ≈ 9,8 Дж.

Прикрепленный к вертикальной пружине груз медленно опускают до положения равновесия, причем пружина растягивается на длину х 0 . На сколько растянется пружина, если тому же грузу предоставить возможность падать свободно с такого положения, при котором пружина не растянута? Какой максимальной скорости v макс достигнет при этом груз? Каков характер движения груза? Масса груза m . Массой пружины пренебречь.

Ответ

2x 0 ; ; колебательный характер движения груза.

Падающим с высоты h = 1,2 м грузом забивают сваю, которая от удара уходит в землю на s = 2 см. Определить среднюю силу удара F ср и его продолжительность τ , если масса груза М = 5·10 2 кг, масса сваи много меньше массы груза.

Ответ

F ср ≈ 3·10 5 Н; τ ≈ 8·10 -3 с.

С горы высотой h = 2 м и основанием b = 5 м съезжают санки, которые затем останавливаются, пройдя по горизонтали путь l = 35 м от основания горы. Найти коэффициент трения.

Ответ

k = 0,05.

Стальной шарик массой m = 20 г, падая с высоты h 1 = 1 м на стальную плиту, отскакивает от нее на высоту h 2 = 81 см. Найти: а) импульс силы, действовавшей на плиту за время удара; б) количество теплоты, выделившееся при ударе.

Ответ

а) p = 0,17 Н·с;

б) Q = 3,7·10 -2 Дж.

Легкий шарик начинает свободно падать и, пролетев расстояние l , сталкивается упруго с тяжелой плитой, движущейся вверх со скоростью u . На какую высоту h подскочит шарик после удара?

Ответ

Воздушный шар, удерживаемый веревкой, поднялся на некоторую высоту. Как изменилась потенциальная энергия системы шар — воздух — Земля?

Ответ

Потенциальная энергия системы шар — воздух — Земля уменьшилась, поскольку при подъеме шара вверх объем, занимаемый шаром, замещается воздухом, имеющим массу, бо льшую, чем шар.

Хоккейная шайба, имея начальную скорость v 0 = 5 м/с, скользит до удара о борт площадки s = 10 м. Удар считать абсолютно упругим, коэффициент трения шайбы о лед k = 0,1, сопротивлением воздуха пренебречь. Определить, какой путь l пройдет шайба после удара.

Ответ

l ≈ 2,7 м.

Тело соскальзывает без трения с клина, лежащего на горизонтальной плоскости, два раза: первый раз клип закреплен; второй раз клин может скользить без трения. Будет ли скорость тела в конце соскальзывания с клина одинакова в обоих случаях, если тело оба раза соскальзывает с одной и той же высоты?

Ответ

Скорость тела в первом случае больше, чем во втором.

Почему трудно допрыгнуть до берега с легкой лодки, стоящей вблизи берега, и легко это сделать с парохода, находящегося на таком же расстоянии от берега?

Ответ

Прыгая с парохода, человек совершает меньшую работу, чем в том случае, когда прыгает с лодки.

Конькобежец массой М = 70 кг, стоя на коньках на льду, бросает в горизонтальном направлении камень массой m = 3 кг со скоростью v = 8 м/с относительно Земли. Найти, на какое расстояние s откатится при этом конькобежец, если коэффициент трения коньков о лед k = 0,02.

Ответ

s ≈ 0,29 м.

Человек стоит на неподвижной тележке и бросает горизонтально камень массой m = 8 кг со скоростью v 1 = 5 м/с относительно Земли. Определить, какую при этом человек совершает работу, если масса тележки вместе с человеком М = 160 кг. Проанализируйте зависимость работы от массы М . Трением пренебречь.

Ответ

A ≈ 105 Дж.

Винтовка массой М = 3 кг подвешена горизонтально на двух параллельных нитях. При выстреле в результате отдачи она отклонилась вверх на h = 19,6 см.

Масса пули m = 10 г. Определить скорость v 1 , с которой вылетела пуля.

Ответ

v 1 ≈ 590 м/с.

Пуля, летевшая горизонтально со скоростью v = 40 м/с, попадает в брусок, подвешенный на нити длиной l = 4 м, и застревает в нем. Определить угол α , на который отклонится брусок, если масса пули m 1 = 20 г, а бруска m 2 = 5 кг.

Ответ

α ≈ 15º.

Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на очень легком жестком стержне, и застревает в нем. Масса пули в n = 1000 раз меньше массы шара. Расстояние от точки подвеса стержня до центра шара l = 1 м. Найти скорость пули v , если известно, что стержень с шаром отклонился от удара пули на угол α = 10°.

Ответ

v ≈ 550 м/с.

Пуля массой m 1 = 10 г, летевшая горизонтально со скоростью v 1 = 600 м/с, ударилась в свободно подвешенный на длинной нити деревянный брусок массой m 2 = 0,5 кг и застряла в нем, углубившись на s = 10 см. Найти силу F с сопротивления дерева движению пули. На какую глубину S 1 войдет пуля, если тот же брусок закрепить.

Ответ

F с ≈ 1,8·10 4 Н; s 1 ≈ 10,2 см.

В покоящийся шар массой М = 1 кг, подвешенный на длинном жестком стержне, закрепленном в подвесе на шарнире, попадает пуля массой m = 0,01 кг. Угол между направлением полета пули и линией стержня равен α = 45°. Удар центральный. После удара пуля застревает в шаре и шар вместе с пулей, отклонившись, поднимается на высоту h = 0,12 м относительно первоначального положения. Найти скорость пули v . Массой стержня пренебречь.

Ответ

v ≈ 219 м/с.

Маятник представляет собой прямой тонкий стержень длиной l = 1,5 м, на конце которого находится стальной шар массой М = 1 кг. В шар попадает летящий горизонтально со скоростью v = 50 м/с стальной шарик массой m = 20 г. Определить угол максимального отклонения маятника, считая удар упругим и центральным. Массой стержня пренебречь.

Ответ

α ≈ 30º.

На нити, перекинутой через блок, подвешены два груза неравных масс m 1 и m 2 . Найти ускорение центра масс этой системы. Решить задачу двумя способами, применяя: 1) закон сохранения энергии и 2) закон движения центра масс. Массами блока и нити пренебречь.

Ответ

.

Молот массой m = 1,5 т ударяет по раскаленной болванке, лежащей на наковальне, и деформирует ее. Масса наковальни вместе с болванкой М = 20 т. Определить коэффициент полезного действия η при ударе молота, считая удар неупругим. Считать работу, совершенную при деформации болванки, полезной.

Ответ

η ≈ 93 %.

Тело массой m 1 ударяется неупруго о покоящееся тело массой m 2 . Найти долю q потерянной при этом кинетической энергии.

Ответ

q = m 2 /(m 1 +m 2).

На передний край платформы массой М , движущейся горизонтально без трения со скоростью v , опускают с небольшой высоты короткий брусок массой m . При какой минимальной длине платформы l брусок не упадет с нее, если коэффициент трения между бруском и платформой k . Какое количество теплоты Q выделится при этом.

Ответ

; .

Телу массой m = 1 кг, лежащему на длинной горизонтальной платформе покоящейся тележки, сообщают скорость v = 10 м/с. Коэффициент трения тела о платформу k = 0,2. Какой путь пройдет тележка к тому моменту, когда тело остановится на ней? Какое количество теплоты выделится при движении тела вдоль платформы? Тележка катится по рельсам без трения, ее масса М = 100 кг.

Ответ

s ≈ 0,25 м; Q ≈ 50 Дж.

Два груза массами m 1 = 10 кг и m 2 = 15 кг подвешены на нитях длиной l = 2 м так, что соприкасаются между собой. Меньший груз был отклонен на угол α = 60° и отпущен. На какую высоту поднимутся оба груза после удара? Удар грузов считать неупругим. Какое количество теплоты при этом выделяется?

Ответ

h ≈ 0,16 м; Q ≈ 58,8 Дж.

Шарик движется между двумя очень тяжелыми вертикальными параллельными стенками, соударяясь с ними по закону абсолютно упругого удара. Одна из стенок закреплена, другая движется от нее с постоянной горизонтальной скоростью u х = 0,5 м/с. Определить число соударений и и окончательную скорость v x шарика, если перед первым соударением со стенкой она была равна v 0x = 19,5 м/с.

Ответ

Число соударений n = 19; v x = 0,5 м/с.

Два шара подвешены на параллельных нитях одинаковой длины так, что они соприкасаются. Массы шаров m 1 = 0,2 кг и m 2 = 100 г. Первый шар отклоняют так, что его центр тяжести поднимается на высоту h = 4,5 см, и отпускают. На какую высоту поднимутся шары после соударения, если удар: а) упругий; б) неупругий?

Ответ

а) h 1 = 5·10 -3 м, h 2 = 0,08 м;

б) H = 0,02 м.

Во сколько раз уменьшится скорость атома гелия после центрального упругого столкновения с неподвижным атомом водорода, масса которого в четыре раза меньше массы атома гелия?

Ответ

n = 5/3.

На шар, лежащий на гладкой горизонтальной поверхности, налетает другой шар такого же радиуса, движущийся горизонтально. Между шарами происходит упругий центральный удар. Построить график зависимости доли переданной энергии от отношения масс шаров α =m 1 /m 2 .

Ответ

.

Для получения медленных нейтронов их пропускают сквозь вещества, содержащие водород (например, парафин). Найти, какую наибольшую часть своей кинетической энергии нейтрон массой m 0 может передать: а) протону (масса m 0); б) ядру атома свинца (масса m = 207 m 0). Наибольшая часть передаваемой энергии соответствует упругому центральному удару.

Ответ

а) 100 %, при упругом столкновении частиц с одинаковой массой происходит обмен скоростями;

Два идеально упругих шарика массами m 1 и m 2 движутся вдоль одной и той же прямой со скоростями v 1 и v 2 . Во время столкновения шарики начинают деформироваться и часть кинетической энергии переходит в потенциальную энергию деформации. Затем деформация уменьшается, а запасенная потенциальная энергия вновь переходит в кинетическую. Найти значение максимальной потенциальной энергии деформации.

Ответ

.

Небольшое тело обтекаемой формы с плотностью ρ 1 падает в воздухе с высоты h на поверхность жидкости с плотностью ρ 2 , причем ρ 1 < ρ 2 . Определить глубину h 1 погружения тела в жидкость, время погружения t и ускорение a . Сопротивлением жидкости пренебречь.

Ответ

; ; .

На нити длиной l подвешен груз массой m . Определить, на какую минимальную высоту надо поднять этот груз, чтобы он, падая, разорвал нить, если минимальный груз массой М , подвешенный на нити и разрывающий ее, растягивает нить в момент разрыва на 1% от ее длины. Принять, что для нити справедлив закон Гука вплоть до разрыва.

Ответ

h мин = 0,01Ml /(2m ).

Определить максимальную дальность полета струи s из шприца диаметром d = 4 см, на поршень которого давит сила F = 30 Н. Плотность жидкости ρ = 1000 кг/м 3 . Сопротивлением воздуха пренебречь (S отв ≪ S порш).

Ответ

s ≈ 4,9 м.

Цилиндр диаметром D заполнен водой и расположен горизонтально. С какой скоростью u перемешается в цилиндре поршень, если на него действует сила F , а из отверстия в дне цилиндра вытекает струя диаметром d ? Трением пренебречь. Силу тяжести не учитывать. Плотность жидкости ρ .

Ответ

.

По гладкому горизонтальному проволочному кольцу могут без трения скользить две бусинки массами m 1 и m 2 . Вначале бусинки были соединены ниткой и между ними находилась сжатая пружина. Нитку пережигают. После того как бусинки начали двигаться, пружинку убирают. В каком месте кольца бусинки столкнуться в 11-й раз? Столкновения бусинок абсолютно упругие. Массой пружины пренебречь.

Ответ

l 1 /l 2 = m 2 /m 1 , где l 1 и l 2 — длины дуг кольца от точки начала движения до точки 11-го соударения.

Протон массой m , летящий со скоростью v 0 , столкнулся с неподвижным атомом массой М , после чего стал двигаться в прямо противоположную сторону со скоростью 0,5 v o , а атом перешел в возбужденное состояние. Найти скорость v и энергию Е возбуждения атома.

Ответ

; .

При распаде неподвижного ядра образуются три осколка массами m 1 , m 2 и m 3 с общей кинетической энергией Е 0 . Найти скорости осколков, если направления скоростей составляют друг с другом углы в 120°.

Ответ

;

;

;

В общем виде:

В неподвижный шар ударяется не по линии центров другой такой же шар. Под каким углом α разлетятся шары, если они абсолютно упругие и абсолютно гладкие?

Ответ

α = 90º.

Два шара А и В с различными неизвестными массами упруго сталкиваются между собой. Шар А до соударения находился в покое, а шар В двигался со скоростью v . После соударения шар В приобрел скорость 0,5 v и начал двигаться под прямым углом к направлению своего первоначального движения. Определить направление движения шара А и его скорость v A после столкновения.

Ответ

v A = 0,66v .

При бомбардировке гелия α -частицами с энергией Е 0 налетающая частица отклонилась на угол φ = 60° по отношению к направлению ее движения до столкновения. Считая удар абсолютно упругим, определить энергии α -частицы W α и ядра W He после столкновения. Энергия теплового движения атомов гелия много меньше E 0 .

Ответ

W α = 1/4 E 0 ; W He = 3/4 E 0 .

Гладкий шарик из мягкого свинца налетает на такой же шарик, первоначально покоящийся. После столкновения второй шарик летит под углом α к направлению скорости первого шарика до столкновения. Определить угол β , под которым разлетаются шары после столкновения. Какая часть кинетической энергии T перейдет при столкновении в тепло Q ?

Ответ

β = arctg(2tgα ); Q /T = ½cos 2 α .

Шар массой m , движущийся со скоростью v , налетает на покоящийся шар массой m /2 и после упругого удара продолжает двигаться под углом α = 30° к направлению своего первоначального движения. Найти скорости шаров после столкновения.

Движение тела с постоянной скоростью, как следует из законов Ньютона, может быть осуществлено двумя способами: либо без действия на данное тело сил, либо при действии сил, геометрическая сумма которых равна нулю. Между ними есть принципиальное различие. В первом случае не совершается работа, во втором - силами совершается работа.

Термин «работа» употребляют в двух значениях: для обозначения процесса и для обозначения скалярной физической величины, которая выражается произведением проекции силы на направление перемещения на длину вектора перемещения формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f150.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

В математике скалярное произведение двух векторов на косинус угла между ними называют скалярным произведением векторов , поэтому работа равна скалярному произведению вектора силы F и вектора перемещения формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f152.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

Если угол между направлением силы и направлением перемещения острый, то сила совершает положительную работу, если тупой, то работа силы отрицательна.

В общем случае, когда сила меняется произвольным образом и траектория тела произвольна, вычисление работы оказывается не таким уж простым делом. Весь путь тела разбивают на столь малые участки, чтобы на каждом из них силу можно было считать постоянной. На каждом из таких участков находят элементарную работу формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f154.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

Полная работа при перемещении тела из точки 1 в точку 2 равна площади фигуры под графиком F(r) , рис. 18.

В практической деятельности важно знать быстроту выполнения работы. Величина, характеризующая скорость совершения работы, называется мощностью.

Мощность численно равна отношению работы формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f156.gif" border="0" align="absmiddle" alt=", за который она совершается:

опред-е">среднюю мощность , а предел этого отношения при опред-е">мгновенную мощность :

пример">dA = опред-е">мощность определяется скалярным произведением векторов действующей силы и скорости движения тела :

пример"> v различна по отношению к двум системам отсчета, движущимся относительно друг друга.

Способность конкретного тела совершать работу характеризуют с помощью энергии.

Вообще энергия выступает в физике как единая и универсальная мера различных форм движения материи и соответствующих им взаимодействий .

Поскольку движение - неотъемлемое свойство материи, то любое тело, система тел или полей обладают энергией. Поэтому энергия системы количественно характеризует эту систему в отношении возможных в ней превращений движения. Понятно, что эти превращения происходят вследствие взаимодействий между частями системы, а также между системой и внешней средой. Для различных форм движения и соответствующих им взаимодействий вводят различные виды энергии - механическую, внутреннюю, электромагнитную, ядерную и т.д.

Мы рассмотрим механическую энергию . Изменение механического движения тела вызывается силами, действующими на него со стороны других тел. Чтобы количественно охарактеризовать процесс обмена энергией между взаимодействующими телами в механике используется понятие работы силы. В механике различают кинетическую и потенциальную энергии.

Кинетической энергией движущейся материальной точки называют величину, определяемую как половину произведения массы точки на квадрат ее скорости:

пример">m , движущегося поступательно со скоростью v , равна также пример">F действует на покоящееся тело и вызывает его движение со скоростью v , то она совершает работу, а энергия движущегося тела возрастает на величину затраченной работы. Приращение кинетической энергии рассматриваемого тела равно суммарной работе всех сил, действующих на тело:

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f165.gif" border="0" align="absmiddle" alt=" - разность между конечным и начальным значениями кинетической энергии.

Утверждение (3.1) называется теоремой об изменении кинетической энергии .

Силы, действующие на тело, могут различаться по своей природе и свойствам. В механике сложилось разделение сил на консервативные и неконсервативные .

Консервативными (потенциальными) называются силы , работа которых не зависит от траектории движения тела, а определяется только начальным и конечным его положением, поэтому работа по замкнутой траектории всегда равна нулю. Такими силами являются, например, сила тяжести и сила упругости.

Неконсервативными (диссипативными) называются силы , работа которых зависит от формы траектории и пройденного пути. Неконсервативными являются, например, сила трения скольжения, силы сопротивления воздуха или жидкости.

В общем случае работа любых консервативных сил может быть представлена как убыль некоторой величины П , которую называют потенциальной энергией тела:

опред-е">Убыль величины отличается от приращения знаком опред-е">Потенциальная энергия - часть механической энергии системы , определяемой взаимным расположением тел и характером взаимодействия между ними.

Потенциальная энергия определяется работой, которую совершили бы действующие консервативные силы, перемещая тело из начального состояния, где можно соответствующим выбором координат считать, что потенциальная энергия П1 равна нулю, в данное положение.

Выражение (3.2) можно записать в виде:

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f169.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

Следовательно, если известна функция П , то (3.3) полностью определяет силу F по модулю и направлению:

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f171.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

Вектор, стоящий в (3.4) справа в квадратных скобках и построенный с помощью скалярной функции П , называется градиентом функции П и обозначается gradП . Обозначение пример">П по направлению х , соответственно пример">у , а пример">z .

Тогда можно сказать, что сила, действующая на материальную точку в потенциальном поле, равна взятому с обратным знаком градиенту потенциальной энергии этой точки:

пример">х из начального состояния 1 в конечное состояние 2:

опред-е">Потенциальная энергия может иметь различную физическую природу и конкретный вид функции П зависит от характера силового поля. Например , потенциальная энергия тела массы m , находящегося на высоте h над поверхностью земли, равна П = mgh , если за нулевой уровень условно принята поверхность земли. Так как начало отсчета выбирается произвольно, то потенциальная энергия может иметь отрицательное значение.

Потенциальная энергия тела, находящегося под действием упругой силы деформированной пружины равна пример">х - величина деформации пружины, k - жесткость пружины.

Можно найти работу против сил упругости. Приложим к упругому телу силу F = -kх , тогда работа при удлинении от формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f179.gif" border="0" align="absmiddle" alt=":

опред-е">функцией состояния системы . Она зависит только от конфигурации системы и ее положения по отношению к внешним телам.

Работа силы трения зависит от пути, а значит, и формы траектории. Следовательно, сила трения является неконсервативной.

Физическую величину, равную сумме кинетической и потенциальной энергий тела, называют его механической энергией Е = пример">П .

Можно показать, что приращение механической энергии равно суммарной работе формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f183.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

Следовательно, если неконсервативные силы отсутствуют или таковы, что не совершают работы над телом в течение интересующего нас времени, то механическая энергия тела остается постоянной за это время: Е= const . Это утверждение известно как закон сохранения механической энергии .

Рассмотрим систему N частиц, между которыми действуют только консервативные силы формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f185.gif" border="0" align="absmiddle" alt=".

Запишем второй закон Ньютона для всех N частиц системы:

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f187.gif" border="0" align="absmiddle" alt="), их сумма равна нулю..gif" border="0" align="absmiddle" alt=" - импульс всей системы.

В результате сложения уравнений получаем

опред-е">закон изменения импульса системы .

Для системы частиц часто пользуются тем или иным усреднением. Это гораздо удобней, чем следить за каждой отдельной частицей. Таким усреднением является центр масс - точка, радиус-вектор которой определяется выражением:

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f192.gif" border="0" align="absmiddle" alt=" - масса частицы, имеющей радиус-вектор пример">m - масса системы, равная сумме масс всех ее частиц.

Поскольку масса является мерой инертности, центр масс называют центром инерции системы . Иногда его называют также центром тяжести, имея в виду, что в этой точке приложена равнодействующая сил тяжести всех частиц системы.

При движении системы центр масс изменяется со скоростью

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f195.gif" border="0" align="absmiddle" alt=" - импульс системы, равный векторной сумме импульсов всех ее частиц.

На основании (3.8) выражение (3.6) можно представить в виде:

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f197.gif" border="0" align="absmiddle" alt=" - ускорение центра инерции системы.

Таким образом, центр инерции системы движется под действием внешних сил, как материальная точка с массой, равной массе всей системы.

Правая часть (3.6) может быть равна нулю в двух случаях: если система замкнута или если внешние силы компенсируют друг друга. В этих случаях получаем:

опред-е">Если сумма внешних сил равна нулю (система является замкнутой), импульс системы тел остается постоянным при любых происходящих в ней процессах (закон сохранения импульса).

Уравнение (3.9) - закон сохранения импульса замкнутой системы - один из важнейших законов природы. Как и закон сохранения энергии, он выполняется всегда и везде - в макромире, микромире и в масштабах космических объектов.

Особая роль физических величин - энергии и импульса объясняется тем, что энергия характеризует свойства времени, а импульс - свойства пространства: их однородность и симметрию .

Однородность времени означает, что любые явления в разные моменты времени протекают совершенно одинаково.

Однородность пространства означает, что в нем нет никаких ориентиров, никаких особенностей. Поэтому невозможно определить положение частицы «относительно пространства», его можно определить только относительно другой частицы. Любые физические явления во всех точках пространства протекают совершенно одинаково.

Опред-е">абсолютно упругими (или просто упругими). Так, например, можно считать абсолютно упругим центральное столкновение двух стальных шаров.

опред-е">неупругими . Изменение механической энергии при таких столкновениях, как правило, характеризуется убылью и сопровождается, например, выделением тепла. Если тела после столкновения движутся как единое целое, то такое столкновение называют абсолютно неупругим.

Неупругий удар. Пусть рассмотренные выше шары после удара движутся как одно целое со скоростью u . Используем закон сохранения импульса:

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f222.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

Механическая энергия системы в случае неупругого удара не сохраняется , т.к. действуют неконсервативные силы. Найдем уменьшение кинетической энергии шаров. До удара их энергия равна сумме энергий обоих шаров:

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f224.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

Изменение энергии

опред-е">Пример использования законов сохранения импульса и механической энергии

ЗАДАЧА. Пуля массой m , летевшая горизонтально со скоростью v , попадает в шар массой М , подвешенный на нити, и застревает в нем. Определить высоту h , на которую поднимется шар вместе с пулей.

опред-е">РЕШЕНИЕ

Столкновение пули и шара - неупругое. Согласно закону сохранения импульса для замкнутой системы пуля - шар можно записать:

пример">u - скорость шара и пули.

По закону сохранения механической энергии:

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f229.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

Контрольные вопросы и задачи

1. Что такое работа силы? Как графически определить работу силы?

2. Дайте определение кинетической энергии тела.

3. В чем заключается теорема об изменении кинетической энергии тела?

4. Что характеризует потенциальная энергия?

5. Как определить конкретный вид потенциальной энергии тела в том или ином силовом поле?

6. Каково изменение потенциальной энергии пружины жесткостью k при ее растяжении на ?

7. Что такое полная механическая энергия?

8. Сформулируйте закон сохранения механической энергии тела.

9. Что такое мощность? От чего она зависит?

10. Как математически записывается закон сохранения импульса?

11. Какие частные случаи выполнения закона сохранения импульса Вы знаете?

12. Какими уравнениями можно описать абсолютно упругое и абсолютно неупругое столкновение двух тел?