Частные случаи уравнения теплопроводности. Задачи теплопроводности в различных системах координат

Постановка задач ТМО

Имеем объем, на который воздействуют тепловые нагрузки необходимо определить численное значение q V и распределение ее по объему.

Рис.2-Внешние и внутренние источники трения

1. Определить геометрию исследуемого объема в любой выбранной системе координат.

2. Определить физические характеристики исследуемого объема.

3. Определить условия, инициирующие процесс ТМО.

4. Уточнить законы, определяющие перенос тепла в исследуемом объеме.

5. Определить начальное тепловое состояние в исследуемом объеме.

Задачи, решаемые при анализе ТМО:

1.«Прямые» задачи ТМО

Дано: 1,2,3,4,5

Определить: распределение температур в пространстве и во времени (далее 6).

2.«Обратные» задачи ТМО (инверсные):

а) обратные граничные задачи

Дано: 1,2,4,5,6

Определить: 3;

б) обратные коэффициенты задачи

Дано: 1,3,4,5,6

Определить: 2;

в) обратная ретроспективная задача

Дано: 1,2,3,4,6

Определить: 5.

3.«Индуктивные» задачи ТМО

Дано: 1,2,3,5,6

Определить: 4.

ФОРМЫ ПЕРЕНОСА ТЕПЛА И ТЕПЛОВЫЕ ПРОЦЕССЫ

Различают 3 формы переноса тепла:

1) теплопроводность в твердых телах (определяется микрочастицами, а в металлах свободными электронами);

2) конвекция (определяется макрочастицами подвижной среды);

3) тепловое излучение (определяется электромагнитными волнами).

Теплопроводность твердых тел

Общие понятия

Поле температур – это совокупность значений температуры в исследуемом объеме, взятая в некоторый момент времени.

t(x, y, z, τ) - функция, определяющая поле температур.

Различают стационарное и нестационарное поле температур:

стационарное - t(x,y,z);

нестационарное - t(x, y, z, τ) .

Условием стационарности является:

Возьмем некое тело и соединим точки с равными температурами

Рис.3-Градиент температур и тепловой поток

grad t - градиент температуры;

с другой стороны: .

Закон Фурье ‑ тепловой поток в твердых телах пропорционален градиенту температуры, поверхности, через которую он проходит и рассматриваемому интервалу времени.

Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом теплопроводности λ , Вт/м·К.

показывает, что тепло распространяется в направлении, противоположном вектору градиента температур.

;

Для бесконечно малой поверхности и промежутка времени:

Уравнение теплопроводности (уравнение Фурье)

Рассмотрим бесконечно малый объем: dv =dx ·dy ·dz

Рис.4-Тепловое состояние бесконечно малого объёма

Имеем ряд Тейлора:

Аналогично:

; ; .

В общем случае имеем в кубике q V . В основе вывода лежит обобщенный закон сохранения энергии:

.

В соответствии с законом Фурье:

; ; .

После преобразований имеем:

.

Для стационарного процесса:

Пространственная мерность задач определяется количеством направлений, в которых происходит перенос тепла.

Одномерная задача: ;

для стационарного процесса: ;

для :

для : ;

a - коэффициент температуропроводности, .декартова система;

k = 1 , ξ = x - цилиндрическая система;

k = 2 , ξ = x - сферическая система.

Условия однозначности

Условие однозначности – это условия, позволяющее выделить из множества допустимых решений одно-единственное, соответствующее поставленной задаче.

где с р , Дж/(кг×К) – изобарная теплоемкость; r , кг/м 3 – плотность; l , Вт/(м×К) – коэффициент теплопроводности; w х, w y , w z – проекции вектора скорости движения жидкости; q v , Вт/м 3 – объемная плотность внутреннего тепловыделения жидкости.

Уравнение (1.12) записано для случая l=const .

Дифференциальное для твердых тел называется дифференциальным уравнением теплопроводности и может быть получено из (1.12) при условии w х = w y = w z = 0, с р = с v =с:

,

где - коэффициент температуропроводности, характеризует скорость изменения температуры в теле. Значения а = f (t) для различных тел приводятся в справочниках.

Дифференциальное уравнение теплопроводности

(1.13)

описывает нестационарное температурное поле твердых тел с внутренним тепловыделением (с внутренними источниками тепла). Такими источниками тепла могут быть: джоулева теплота, выделяемая при прохождении электрического тока по проводникам; теплота, выделяемая ТВЭЛами ядерных реакторов и т.д.

Дифференциальное уравнение теплопроводности (1.13), записанное в декартовых координатах, можно представить в цилиндрических (r , z , φ) и сферических (r , φ , ψ).

В частности, в цилиндрических координатах (r – радиус; φ – полярный угол; z - аппликата) дифференциальное уравнение теплопроводности имеет вид

(1.14)

Условия однозначности

Дифференциальное уравнение описывает множество процессов теплопроводности. Чтобы выделить из этого множества конкретный процесс, необходимо сформулировать особенности этого процесса, которые называются условиями однозначности и включают в себя:

· геометрические условия , характеризующие форму и размеры тела;

· физические условия , характеризующие свойства участвующих в теплообмене тел;

· граничные условия , характеризующие условия протекания процесса на границе тела;

· начальные условия , характеризующие начальное состояние системы при нестационарных процессах .

При решении задач теплопроводности различают:

· граничные условия первого рода , когда задается распределение температуры на поверхности тела:

t c = f (x, y, z, τ) или t c =const ;

· граничные условия второго рода , когда задается плотность теплового потока на поверхности тела:

q c = f (x, y, z, τ) или q c =const ;

· граничные условия третьего рода , когда задается температура среды t ж и коэффициент теплоотдачи между поверхностью и средой.

В соответствии с законом Ньютона-Рихмана тепловой поток, передаваемый с 1м 2 поверхности в среду с температурой t ж ,

В то же время этот тепловой поток подводится к 1м 2 поверхности из глубинных слоев тела теплопроводностью

Тогда уравнение теплового баланса для поверхности тела запишется в виде

(1.15)

Уравнение (1.15) является математической формулировкой граничных условий третьего рода.

Система дифференциальных уравнений совместно с условиями однозначности представляет собой математическую формулировку задачи. Решения дифференциальных уравнений содержат константы интегрирования, которые определяются с помощью условий однозначности.

Контрольные вопросы и задания

1. Проанализируйте, какими способами передается теплота от горячей воды к воздуху через стенку батареи отопления: от воды к внутренней поверхности, через стенку, от наружной поверхности к воздуху.

2. Почему в правой части уравнения (1.3) стоит минус?

3. Проанализируйте с помощью справочной литературы зависимость λ(t) для металлов, сплавов, теплоизоляционных материалов, газов, жидкостей и ответьте на вопрос: как изменяется коэффициент теплопроводности с изменением температуры для этих материалов?

4. Как определяется тепловой поток (Q , Вт) при конвективной теплоотдаче, теплопроводности, тепловом излучении?

5. Запишите дифференциальное уравнение теплопроводности в декартовых координатах, описывающее трехмерное стационарное температурное поле без внутренних источников теплоты.

6. Запишите дифференциальное уравнение температурного поля проволоки, которая длительное время находится под напряжением при постоянной электрической нагрузке.

2. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ И ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
ПРИ СТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ

2.1. Теплопроводность плоской стенки

Дано: плоская однородная стенка толщиной δ (рис. 2.1) с постоянным коэффициентом теплопроводности λ и постоянными температурами t 1 и t 2 на поверхностях.

Определить: уравнение температурного поля t=f (x) и плотность теплового потока q , Вт/м 2 .

Температурное поле стенки описывается дифференциальным уравнением теплопроводности (1.3) при следующих условиях:

· т. к. режим стационарный;

· т.к. отсутствуют внутренние источники теплоты;

· т.к. температуры t 1 и t 2 на поверхностях стенки постоянны.

Температура стенки является функцией только одной координаты х и уравнение (1.13) принимает вид

Выражения (2.1), (2.2), (2.3) являются математической постановкой задачи, решение которой позволит получить искомое уравнение температурного поля t= f (x) .

Интегрирование уравнения (2.1) дает

При повторном интегрировании получим решение дифференциального уравнения в виде

Зависимость t= f (x) , согласно (2.5) – прямая линия (рис. 2.1), что справедливо при λ=const .

Для определения плотности теплового потока, проходящего через стенку, воспользуемся законом Фурье

С учетом получим расчетную формулу для плотности теплового потока, передаваемого через плоскую стенку,

Формулу (2.6) можно записать в виде

где

Величина называется термическим сопротивлением теплопроводности плоской стенки.

На основании уравнения

q R=t 1 – t 2

можно сделать вывод о том, что термическое сопротивление стенки прямо пропорционально перепаду температур по толщине стенки.

Учесть зависимость коэффициента теплопроводности от температуры, λ(t) , можно, если в уравнения (2.6) и (2.7) подставить значения λ ср для интервала температур t 1 –t 2 .

Рассмотрим теплопроводность многослойной плоской стенки , состоящей, например, из трех слоев
(рис. 2.2).

Дано: δ 1 , δ 2 , δ 3 , λ 1 , λ 2 , λ 3 , t 1 =const , t 4 =const .

Определить: q , Вт/м 2 ; t 2 , t 3 .

При стационарном режиме и постоянных температурах поверхностей стенки тепловой поток, передаваемый через трехслойную стенку, можно представить системой уравнений:

Температуры на границах слоев t 2 и t 3 можно рассчитать по уравнениям (2.8) – (2.10) после того, как найдена плотность теплового потока (q ) по (2.12).

Общий вид уравнения (2.12) для многослойной плоской стенки, состоящей из п однородных слоев с постоянными температурами на наружных поверхностях и , имеет вид

2.2. Теплопроводность цилиндрической стенки
при граничных условиях первого рода

Дано: Однородная цилиндрическая стенка (стенка трубы) с внутренним радиусом r 1 , наружным – r 2 , длиной , с постоянным коэффициентом теплопроводности λ , с постоянными температурами на поверхностях t 1 и t 2 .
(рис. 2.3).

Определить: уравнение температурного поля
t = f (r) , тепловой поток, передаваемый через стенку
Q , Вт.

Дифференциальное уравнение теплопроводности в цилиндрических координатах (1.14) для условий данной задачи:

принимает вид

Порядок решения системы уравнений (2.15) – (2.17) тот же, что и в случае плоской стенки: находится общий интеграл дифференциального уравнения второго порядка (2.15), который содержит две константы интегрирования
с 1 и с 2 . Последние определяются с помощью граничных условий (2.16) и (2.17) и после подстановки их значений в решение дифференциального уравнения (общий интеграл) получаем уравнение температурного поля цилиндрической стенки t = f (r) в виде

Если взять производную от правой части уравнения (2.18) и подставить в (2.19), получим расчетную формулу для теплового потока цилиндрической стенки

(2.20)

В технических расчетах часто тепловой поток вычисляется для 1 м длины трубы:

и называется линейной плотностью теплового потока .

Запишем уравнение (2.20) в виде

где – термическое сопротивление теплопроводности цилиндрической стенки .

Для трехслойной цилиндрической стенки (трубы, покрытой двумя слоями тепловой изоляции) с известными постоянными температурами поверхностей (t 1 и t 4 ), с известными геометрическими размерами (r 1 , r 2 , r 3 , r 4 , ) и коэффициентами теплопроводности слоев (λ 1 , λ 2 , λ 3 ) (рис. 2.4) можно записать следующие уравнения для теплового потока Q :

Температуры на границах слоев (t 2 , t 3) можно рассчитать по уравнениям (2.21).

Для многослойной цилиндрической стенки , состоящей из п слоев, формулу (2.22) можно записать в общем виде

(2.23)

Эффективный коэффициент теплопроводности для многослойной цилиндрической стенки, как и для многослойной плоской стенки, определяется из равенства суммы термических сопротивлений многослойной стенки термическому сопротивлению однородной стенки той же толщины, что и многослойная. Так, для двухслойной тепловой изоляции трубы
(рис. 2.4) эффективный коэффициент теплопроводности (λ эф) определ ится из равенства

2.3. Теплопроводность плоской и цилиндрической стенок
при граничных условиях третьего рода (теплопередача)

Граничные условия третьего рода состоят в задании температуры жидкости (t ж) и коэффициента теплоотдачи () между поверхностью стенки и жидкостью.

Передача тепла от одной жидкости к другой через разделяющую их стенку называется теплопередачей .

Примерами теплопередачи служит перенос теплоты от дымовых газов к воде через стенку трубы парового котла, перенос тепла от горячей воды к окружающему воздуху через стенку батареи отопления и т.д.

Теплообмен между поверхностью и средой (теплоносителем) может быть конвективным , если теплоноситель – жидкость (вода, нефть и т.д.) или радиационно-конвективным , когда теплота передается путем конвективного теплообмена и излучением, если теплоноситель – газ (дымовые газы, воздух и т.д.).

Рассмотрим теплопередачу через плоскую и цилиндрическую стенки при условии только конвективного теплообмена на поверхностях. Теплопередача с радиационно-конвективным теплообменом (сложным теплообменом) на поверхностях будет рассмотрена позже.Вт/м 2 теплопередачи (Q

если a 1 и a 2 соизмеримы.

Теплопередача через многослойную цилиндрическую стенку рассчитывается по формуле

(2.35)

где F 1 и F 2 – площади внутренней и наружной поверхностей многослойной цилиндрической стенки.

Вопрос 23 чему равна удельная теплота плавления льда

Удельная теплота плавления находится по формуле:

где Q – это количество теплоты, необходимое для того, чтобы расплавить тело массой m.

при отвердевании вещества выделяют такое же количество тепла, которое требовалось затратить на их расплавление. Молекулы, теряя энергию, образуют кристаллы, будучи не в силах сопротивляться притяжению других молекул. И опять-таки, температура тела не будет понижаться вплоть до того момента, пока не отвердеет все тело, и пока не выделится вся энергия, которая была затрачена на его плавление. То есть удельная теплота плавления показывает, как сколько надо затратить энергии, чтобы расплавить тело массой m, так и сколько энергии выделится при отвердевании данного тела.

Для примера, удельная теплота плавления воды в твердом состоянии, то есть, Удельная теплота плавления льда равна 3,4*10^5 Дж/кг

Удельная теплота плавления льда равна 3,4 умножить на 10 в 5 степени джоуль/кг

Обозначают удельную теплоту плавления греческой буквой λ (лямбда), а единицей измерения является 1 Дж/кг

Вопрос 24 Обозначим L1 – удельную теплоту парообразования, L2 – удельную теплоту плавления. Что больше?

Поскольку при парообразовании тело получает энергию, можно сделать вывод, что внутренняя энергия тела в газообразном состоянии больше, чем внутренняя энергия тела той же массы в жидком состоянии. Поэтому, при конденсации пар отдаёт то количество энергии, которое потребовалось для его образования

Удельная теплота парообразования – физическая величина, показывающая количество теплоты, требуемое для превращения в пар 1 кг вещества без изменения его температуры. Коэффициенты «r

Удельная теплота плавления – физическая величина, показывающая количество теплоты, требуемое для превращения в жидкость 1 кг вещества без изменения его температуры. Коэффициенты «λ » для различных веществ, как правило, различны. Они измерены опытным путём и занесены в специальные таблицы

Удельная теплота парообразования больше

Вопрос 25 дифференциальное уравнение теплопроводности для двумерного нестационарного температурного поля в декартовых координатах?

х i = x, y, z – декартовая система координат;

Если вдоль одной из координат температура остается постоянной, то математически это условие записывается (например, для координаты z) следующим образом: дТ/дz=0.

В этом случае поле называется двумерным и записывается:

для нестационарного режима Т=Т(х, у, t);

для стационарного режима Т=Т(х, у).

Уравнения двухмерного температурного поля для режима

нестационарного:

Вопрос 26 дифференциальное уравнение теплопроводности для нестационарного температурного поля в цилиндрических координатах?

х i = r, φ, z – цилиндрическая система координат;

Температурное поле есть совокупность значений температуры во всех точках данной расчетной области и во времени.

Температурное поле измеряют в градусах Цельсия и Кельвинах и обозначают также как и в ТТД: ,где х i - координаты точки в пространстве, в которой находят температуру, в метрах [м]; τ – время процесса теплообмена в секундах, [с]. Т. о. температурное поле характеризуется количеством координат и своим поведением во времени.

В тепловых расчетах используют следующие системы координат:

х i = r, φ, z – цилиндрическая система координат;

Температурное поле, которое изменяетсяво времени , называют нестационарным температурным полем. И наоборот, температурное поле, которое не изменяетсяво времени , называют стационарным температурным полем.

цилиндрических координатах (г – радиус; φ – полярный угол; z – аппликата) дифференциальное уравнение теплопроводности имеет вид

,

1. Дифференциальное уравнение теплопроводности без внутренних источников теплоты (= 0) :

2. Дифференциальное уравнение теплопроводности без внутренних источников теплоты в цилиндрических координатах.

В цилиндрических координатах, в которых где r – радиус-вектор, – полярный угол, уравнение будет иметь вид

Условия однозначности для процессов теплопроводности . Дифференциальное уравнение теплопроводности описывает не одно, а целый класс явлений теплопроводности. Для получения аналитического описания конкретного процесса необходимо указать его частные особенности, которые совместно с дифференциальным уравнением дают полное математическое описание конкретного процесса теплопроводности и называются условиями однозначности или краевыми условиями.

Условия однозначности включают в себя:

Геометрические условия, характеризующие форму и размеры тела, в котором протекает процесс;

Физические условия, характеризующие физические свойства среды и тела;

Временные или начальные условия, характеризующие распределение температуры в теле в начальный момент времени;

Граничные условия, характеризующие условия взаимодействия между рассматриваемым телом и окружающей средой.

Граничные условия могут быть заданы несколькими способами.

Граничными условиями первого рода задается распределение температуры на поверхности тела для каждого момента времени:

Граничными условиями второго рода задаются значения теплового потока для каждой точки поверхности тела и любого момента времени:

Граничными условиями третьего рода задаются температура окружающей среды и закон теплообмена между телом и средой, в качестве которого используют закон теплоотдачи (уравнение Ньютона-Рихмана):

Согласно этому закону плотность теплового потока на поверхности

тела пропорциональна разности температур между поверхностью стенки и окружающей средой. Коэффициент пропорциональности в этом уравнении называют коэффициентом теплоотдачи и обозначают a, [Вт/(м 2 ×К)]. Он характеризует интенсивность теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой.

С другой стороны, эту же плотность теплового потока можно найти из уравнения:

где индекс «с» указывает на то, что градиент температуры рассчитывается на поверхности тела. Получаем аналитическое выражение для граничных условий третьего рода:

Граничными условиями четвертого рода рассматривается случай, когда два или большее количество тел плотно соприкасаются между собой. В этом случае тепловой поток, прошедший через поверхность одного тела, пройдет и через поверхность другого тела (тепловые потери в месте контакта отсутствуют).

Лекция 2. Раздел 2. Теплопроводность при стационарном режиме