Метод Пикара Пикар Шарль Эмиль (1856-1941) -- французский математик.

Этот метод позволяет получить приближенное решение дифференциального уравнения (1) в виде функции, представленной аналитически.

Пусть в условиях теоремы существования требуется найти решение уравнения (1) с начальным условием (2). Проинтегрируем левую и правую части уравнения (1) в границах от до:

Решение интегрального уравнения (9) будет удовлетворять дифференциальному уравнению (1) и начальному условию (2). Действительно, при, получим:

Вместе с тем, интегральное уравнение (9) позволяет применить метод последовательных приближений. Будем рассматривать правую часть формулы (9) как оператор, отображающий всякую функцию (из того класса функций, для которых интеграл, входящий в (9), существует) в другую функцию того же класса:

Если этот оператор является сжимающим (что следует из условия теоремы Пикара), то можно строить последовательность приближений, сходящуюся к точному решению. В качестве начального приближения принимается, и находится первое приближение

Интеграл в правой части содержит только переменную x; после нахождения этого интеграла будет получено аналитическое выражение приближения как функции переменной x. Далее заменим в правой части уравнения (9) y найденным значением и получим второе приближение

и т.д. В общем случае итерационная формула имеет вид

(n=1, 2…) (10)

Циклическое применение формулы (10) дает последовательность функций

сходящуюся к решению интегрального уравнения (9) (а, следовательно, и дифференциального уравнения (1) с начальными условиями (2)). Это так же обозначает, что k-й член последовательности (11) является приближением к точному решению уравнения (1) с определенной контролируемой степенью точности.

Заметим, что при пользовании методом последовательных приближений аналитичность правой части дифференциального уравнения не обязательна, поэтому метод этот можно применять и в тех случаях, когда разложение решения дифференциального уравнения в степенной ряд невозможно.

Погрешность метода Пикара

Оценка погрешности k-го приближения дается формулой

где y(x) - точное решение, - константа Липшица из неравенства (4).

На практике метод Пикара используется очень редко. Одна из причин - та, что интегралы, которые необходимо вычислять при построении очередных приближений, чаще всего аналитически не находятся, а применение их для вычисления численных методов так усложняет решение, что становится гораздо удобнее непосредственно применять другие методы, которые изначально являются численными.

Примеры решения задачи в Maple

Задача №1: Методом последовательных приближений найти значение, где - решение дифференциального уравнения: удовлетворяющее начальному условию, на отрезке, приняв шаг (расчет вести до второго приближения).

Дано: - дифференциальное уравнение

Начальное условие

Интервал

Найти: значение

Решение:

> y1:=simplify (1+int (x+1, x=0…x));

> y2:= simplify (1+int (x+simplify (1+int (x+1, x=0…x))^2, x=0…x));

Найдем значение при x=0,5:

Задача №2: Методом последовательных приближений найти приближенное решение дифференциального уравнения при, удовлетворяющее начальному условию.

Дано: - дифференциальное уравнение

Начальное условие

Найти: значение

Решение:

Будем находить приближенное решение данного ДУ на отрезке с шагом (выбрали произвольно).

Запишем для данного случая формулу вида (10)

> y1:=simplify (1+int (x*1, x=0…x));

>y2:=simplify (1+int (x*simplify (1+int (x*1, x=0…x)), x=0…x));

Аналогично находим третье приближение:

>y3:=simplify (1+int (x*simplify (1+int (x*simplify (1+int (x*1, x=0…x)), x=0…x)), x=0…x));

Найдем приближенное решение данного ДУ при, для этого в третье приближение вместо x, подставим и получим:

Сравним полученный приближенный результат с точным решением ДУ:

По результатам таблицы, видно, что погрешность вычислений очень мала.

Напомним известные теоремы Пикара и Пеано о существовании и единственности решения данной задачи (задачи Коши).

Теорема ПЕАНО утверждает, что решение задачи Коши существует в некоторой окрестности точки Х о, если функция f(x,Y) непрерывна в окрестности точки (X 0 ,Y 0).

Теорема ПИКАРА гласит, что если не только функция f(x,Y), но и ее частная производная f" у (x,Y) также непрерывна в окрестности точки (Х 0 ,У 0), то решение задачи Коши единственно на некотором отрезке, содержащем точку Х 0 .

Доказательство теоремы Пикара следует из общего принципа сжимающих отображений, оно весьма непросто, но обладает существенным преимуществом -оно конструктивно. Причем последовательность функций Y n (x), которая строится в нем, сходится к решению равномерно на отрезке со скоростью геометрической прогрессии. В методе Пикара последовательность функций Y n (x) строится по рекуррентной формуле:

При n= 0,1,2,...,

а за нулевое приближение берется константа Y 0: Y 0 (х)ºY 0 .

Для того, чтобы стало понятно происхождение этой рекуррентной формулы, заметим, что интегральное уравнение

эквивалентно исходной задаче Коши, поскольку любая функция Y(х), являющаяся его решением, удовлетворяет начальному условию Y(Х о)=Y о и уравнению Y"(х)=f(x,Y(х)) и наоборот.

Вопрос: Почему это действительно так?

Пример 4.1 Применим метод Пикара для решения уравнения Y"=Y с начальным условием Y(0)=1. Такая задача эквивалентна поиску решения интегрального уравнения Y=1+òY(t)dt.

В качестве начального приближения берем функцию Y о =1.

Тогда Y 1 =1+òY о (t)dt= 1+òdt= 1+x.

Y 3 = 1+òY 2 (t)dt= 1+ò(1+t+t 2 /2)dt= 1+x+x 2 /2+x 3 /6.

Можно убедиться, что Y n = 1+х+x 2 /2+ ... +x n /n!.

Упражнение 4.1.Доказать последнее равенство строго, используя принцип математической индукции.

Упражнение 4.2.В примере 4.1 найти точное решение Y(Х) и оценить скорость равномерной сходимости Y n (x) -> Y(Х) на отрезке .

В целом, приближенные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений можно разбить на 3 типа:

· аналитические , позволяющие получить приближенное решение Y(х) в виде формулы,

· графические , дающие возможность приближенного построения графика решения Y(х),т.е. интегральной кривой,

· численные , в результате применения которых получается таблица приближенных значений функции Y(х),

хотя такое деление и несколько условно.

Кроме метода Пикара, к аналитическим методам относится и

метод разложения неизвестной функции Y(х) в ряд,

на котором мы сейчас остановимся.

Напишем формальное разложение Y(Х) в ряд Тейлора в точке а:

В это равенство входят производные неизвестной функции Y(Х) в точке а, однако именно в этой точке, пользуясь условиями задачи, мы можем последовательно найти любое число производных и получить необходимое приближение решения. В общем виде это выглядит так: Y о (а)=Y(а)= Y о; Y"(а)=f(a,Y(a))= f(a,Y o)

Дифференцируя данное нам уравнение по Х,получим

Y""(Х)=f" х (x,Y(х))+f" у (x,Y(х))*Y"(х), откуда Y""(а)= f" х (а,Yо)+f" у (a,Y о)*f(a,Y о).

Аналогично получается и значения третьей и дальнейших производных в точке а -дифференцируем нужное число раз исходное уравнение и подставляем полученные ранее значения производных в точке а.

Пример 4.2.Выпишем первые члены разложения в ряд функции Y(x), удовлетворяющей уравнению Y"=2хY и начальному условию Y(0)=1.

Y"""(х)=2 Y"(х)+2 Y"(х)+2х*Y""(х)= 4Y"(х)+2хY""(х), откуда Y"""(0)=0.

Y (4) (х)=4Y""(х)+2хY"""(х), откуда Y (4) (0)=6.

Получаем приближенное решение Y(х)»1+х 2 +0.5х 4 .

Упражнение 4.3.Пользуясь формулой Лейбница для нахождения n-ой производной произведения функций, написать разложение искомой в примере 4.2 функции в ряд Тейлора.

Упражнение 4.4.Найти точное решение в примере 4.2 и оценить качество приближения в примере 4.2 на отрезке [-0.5,0.5].

Описанные выше методы не часто применяются на практике, поскольку в методе Пикара на каждом шаге приходится вычислять интеграл, что осложняет вычисления и ухудшает точность, а в методе разложения в ряд крайне сложно формализовать на любом из языков процесс нахождения производных высокого порядка, а при малом количестве членов разложения этот метод дает хорошее приближение лишь вблизи от точки а.

Среди ГРАФИЧЕСКИХ рассмотрим

Цель работы: сформировать у студентов представление о применении ДУ в различных областях; привить умения решать задачу Коши для ДУ у " = f (x , y ) на отрезке [ a , b ] при заданном начальном условии у 0 = f (x 0) методами Пикара, Эйлера, Рунге – Кутты, Адамса; развить навыки проверки полученных результатов с помощью прикладных программ.

Метод Пикара

Пример 5.1.

: у h = 0,1 методом Пикара с шагом h .

В отчете представить: ход работы, программу – функцию, погрешность, графическую иллюстрацию решения.

Решение.

1. Вводим данные (рис. 5.1)

a = 1,7 b = 2,7

h = 0,1

y 0 = 5,3 i = 0..n

Рис.5.1. Задание исходных данных

2. Задаем функцию, возвращающую значения первой производной по переменной у (рис.5.2).

f derive(y ) =

Рис.5.2. Функция, возвращающая значение первой производной функции

3. Составим функцию, возвращающую решение ДУ методом

Пикара. Здесь: f – исходнаяфункция; f deriv –

Производная функции по у ; a ,b – концы отрезка; h – шаг; у 0 –

начальное значение переменной у .

4. Найдем решение ДУ методом Пикара (рис. 5.3).

fnPikan(fn, fn derive, a, b, h, y0)=

Рис. 5.3. Задание функции, возвращающей решение ДУ

методом Пикара (файл fnPikar.mcd)

fnPikar(f, f derive, a, b, 0.1, y0) =

	7,78457519486·10 -11
	5,3
	5,46340155616
	5,62650688007
	5,78947945853
	5,95251650231
	6,11584391144
	6,27971330675
	6,44440084325
	6,61020759752
	6,77746140952
	6,94652015221

Рис. 5.4. Нахождение численного решения ДУ методом Пикара

Метод Эйлера и его модификации

Пример 5.2.

у (1,7) = 5,3 и шаге интегрирования h = 0,1 методом Эйлера и усовершенствованным методом Эйлера с шагами h и h /2.

Решение.

Ход решения задачи по методу Эйлера приведен на рис. 5.5 – 5.7.

а = 1,7 b = 2,7 у0 = 5,3

y 0 = y0 x i = a + ih h2 = 0,05

Рис5.5. Фрагмент рабочего листа Маthcad с решением

уравнения методом Эйлера с шагом h и h /2 и графической

визуализацией метода Эйлера.

1. Составим программу, реализующую метод Эйлера(рис.

Рис.5.6. Листинг программы, реализующий метод Эйлера

2. Получим решение ДУ методом Эйлера(рис. 5.7.).

ES h = eyler(f, a, b, h, y0)

ES h2 = eyler(f, a, b, , y0)

Рис. 5.7. Нахождение численного решения ДУ методом Эйлера

Примечание

Функцию, возвращающую решение ДУ усовершенствованным методом Эйлера, составить самостоятельно.

Рис. 5.8. Решение ДУ усовершенствованным методом

Эйлера с шагами h и h /2

5.3. Метод Рунге – Кутты

На практике наиболее часто используют метод Рунге – Кутты четвертого порядка.

Пример 5.3.

Решить задачу Коши для ДУ на отрезке при заданном НУ у (1,7) = 5,3 и шаге интегрирования h = 0,1 методом Рунге – Кутты четвертого порядка с шагом h и 2h .

В отчете представить: ход работы, программу функцию, погрешность, графическую иллюстрацию решения и оценку погрешности приближения.

Решение.

1. Вводим данные задачи (рис. 5.9).

a = 1,7 b = 2,7

h = 0,1

y 0 = 5,3

i = 0..n

Рис.5.9. Задание исходных данных

2. Составим функцию, возвращающую решение ДУ первого порядка методом Рунге – Кутты. Здесь: fn – заданная функция; a , b – концы отрезка; h – шаг; y 0 – начальное значение функции.

3. Найдем решение ДУ первого порядка, используя встроенные функции Mathcad (рис. 5.10).

RK h = fnRungeKutta(f, a, b, h, y0)

RK 2h = fnRungeKutta(f, a, b, 2h, y0)

Рис. 5.10. Листинг функции, возвращающей численное

решение ДУ методом Рунге–Кутты

Метод Адамса

Пример 5.4.

Решить задачу Коши для ДУ на отрезке при заданном НУ у (1,7) = 5,3 и шаге интегрирования h = 0,1 методом Адамса с шагом h .

В отчете представить: ручной счет, программу – функцию, погрешность, графическую иллюстрацию решения и оценку погрешности приближения.

Решение.

1. Найдем первые четыре числа по формуле Рунге–Кутты (рис. 5.11).

y i = fnRungeKutta(f, a, b, h, y0) i

Рис. 5.11. Вычисление первых четырех значений численного решения по формуле Рунге–Кутты

2. Составим функцию, реализующую метод Адамса (рис. 2.10.3). Здесь a , b – концы отрезка; y 1 – начальное значение функции; h – шаг.

Рис. 5.12. Функция, возвращающая численное решение

ДУ методом Адамса

3. Графическая иллюстрация решения ДУ разными методами представлена на рис. 5.13.

Рис. 5.13. Визуализация решения ДУ разными методами

Вопросы по теме

1. Что значит – решить задачу Коши для ДУ первого порядка?

2. Графическая интерпретация численного решения ДУ.

3. Какие существуют методы решения ДУ в зависимости от

формы представления решения?

4. В чем заключается суть принципа сжимающих

отображений?

5. Рекуррентная формула метода Пикара.

6. В чем заключается суть метода ломаных Эйлера?

7. Применение, каких формул позволяет получить значения

искомой функции по методу Эйлера?

8. Графическая интерпретация метода Эйлера и

усовершенствованного метода Эйлера. В чем их отличие?

9. В чем заключается суть метода Рунге–Кутты?

10. Как определить количество верных цифр в числе,

являющемся решением ДУ методом Эйлера,

усовершенствованного метода Эйлера, Пикара, Рунге–

Задание к лабораторной работе № 5

Задание 5.1.

Решить задачу Коши для ДУ y ’ = f (x , y ) на отрезке [a , b ] при заданном НУ у (а ) = с и шаге интегрирования h (исходные параметры заданы в табл. 2.10.1):

1) методом Эйлера и усовершенствованным методом Эйлера с шагом h и h /2;

2) методом Рунге–Кутты с шагом h и 2h ;

3) методом Адамса;

4) методом Пикара.

Решение должно содержать: ход работы, программу метода, графическое решение уравнения и оценка погрешности приближения. В числах оставлять 5 цифр после запятой.

Таблица 5.1. Варианты заданий для выполнения самостоятельной работы

№	f(x , y )	[a , b ]	y 0	h
	3х 2 + 0,1ху		у (0) = 0,2	0,1
	0,185(x 2 + cos(0,7x )) + 1,843y		у (0,2) = 0,25	0,1
			у (1,6) = 4,6	0,1
			у (0,2) = 1,1	0,1
			у (1,4) = 2,5	0,1
			у (1,7) = 5,3	0,1
			у (2,6) = 3,5	0,2
			у (2) = 2,3	0,1
	1,6 + 0,5y 2		у (0) = 0,3	0,1
			у (1,8) = 2,6	0,1
			у (2,1) = 2,5	0,1
	e 2x + 0,25y 2		у (0) = 2,6	0,05
		[- 2; -1]	у (-2) = 3	0,1
	0,133·(x 2 + sin(2x )) + 0,872y		у (0,2) = 0,25	0,1
	sin(x + y ) +1,5		у (1,5) = 4,5	0,1
			у (0,4) = 0,8	0,1
	2,5x + cos(y + 0,6)		у (1) = 1,5	0,2
	cos(1,5y +x ) 2 + 1,4		у (1) = 1,5	0,1
			у (1,5) = 2,1	0,05
	cos y + 3x		у (0) = 1,3	0,1
	cos(1,5x – y 2) – 1,3	[-1; 1]	у (-1) = 0,2	0,2
			у (1,6) = 4,6	0,1
	e -(y – 1) + 2x		у (0) = 0,3	0,05
	1 + 2y sin x – y 2		у (1) = 0	0,1
			у (0) = 0	0,1
	0,166(x 2 + sin(1,1x )) + 0,883y		у (0,2) = 0,25	0,1
			у (1,7) = 5,6	0,1
			у (1,4) = 2,5	0,1
			у (0,6) = 0,8	0,1
			у (1) = 5,9	0,1
	1 + 0,8y sin x - 2y 2		у (0) = 0	0,1
			у (0,5) = 1,8	0,1
			у (1,2) = 1,8	0,1
	1 + 2,2 · sin x + 1,5y 2		у (0) = 0	0,1
			у (0) = 0	0,1
			у (0) = 0	0,1
			у (0) = 0	0,1
	0,2x 2 + y 2		у (0) = 0,8	0,1
	x 2 + y		у (0) = 0,4	0,1
	xy + 0,1y 2		у (0) = 0,5	0,1

Литература

Основная литература :

Алексеев Г.В., Вороненко Б.А., Лукин Н.И. Математические методы в

пищевой инженерии: Учебное пособие. – СПб.: «Лань», 2012. – 212 с.

Алексеев Г.В. Математические методы в инженерии: Учеб.-метод. пособие. – СПб.: НИУ ИТМО; ИХиБТ. 2012. – 39 с.

Алексеев Г.В., Холявин И.И. Численное экономико-математическое моделирование и оптимизация: учебное пособие для вузов, ГИЭФПТ, 2011, 211 с.

Макаров Е.Г. Mathcad: Учебный курс. – СПб.: Питер, 2009. - 384 с.

дополнительная литература :

Поршнев С.В.,Беленкова И.В. Численные методы на базе Mathcad. –

СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 464 с.

Агапьев Б.Д., Белов В.Н., Кесаманлы Ф.П., Козловский В.В., Марков С.И. Обработка экспериментальных данных: Учеб. пособие / СПбГТУ. СПб., 2001.

ГореловаГ.В. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel. – М.: Феникс, 2005. – 476 с.

Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий.-М.: Наука, 1976

Асатурян В.И. Теория планирования эксперимента.-М.: Радио и связь, 1983

Бродский В.З. Введение в факторное планирование эксперимента.-М.: Наука, 1976

Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессия.-М.: Финансы и статистика, 1981

Красовский Г.И., Филаретов Г.Ф. Планирование эксперимента.-Минск: БГУ, 1982

Маркова Е.В., Лисенков А.Н. Комбинаторные планы в задачах многофакторного эксперимента.-М.: Наука,1979

Фролькис В.А. Линейная и нелинейная оптимизация.-СПб. 2001. 306 с.

Курицкий Б.Я. Поиск оптимальных решений средствами Excel 7.0.-СПб.: BHV,1997,384с

программное обеспечение и Интернет-ресурсы:

http://www.open-mechanics.com/journals - Процессы и аппараты пищевых производств

http://www.spbgunpt.narod.ru/ur_gigm.htm - Механика жидкости и газа, гидравлика и гидравлические машины

http://elibrary.ru/defaultx.asp - научная электронная библиотека «Elibrary»

Введение

1.Лабораторная работа №1: Теория приближенных вычислений

1.1. Абсолютная и относительная погрешности

1.2. Погрешность округленного числа

1.3. Погрешности арифметических действий

1.4. Погрешности элементарных функций

1.5. Способ границ

1.6. Обратная задача теории погрешностей

1.7. Вопросы по теме

1.8. Задания к лабораторной работе №1

2.Лабораторная работа №2:Численные методы решения

скалярных уравнений

1.1. Метод хорд

1.2. Метод касательных

1.3. Метод простой итерации

1.4. Вопросы по теме

1.5. Задания к лабораторной работе №2

3.Лабораторная работа №3: Численные методы решения систем

нелинейных уравнений

3.1. Метод Ньютона

3.2. Вопросы по теме

3.3. Задание к лабораторной работе №3

4.Лабораторная работа№4: Численное интегрирование

4.1. Метод прямоугольников

4.2. Метод Симпсона

4.3. Метод трапеций

4 .4. Метод Монте – Карло

4.5. Вопросы по теме

4.6. Задание к лабораторной работе №4

5. Лабораторная работа №5: Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

5.1. Метод Пикара

5.2. Метод Эйлера и его модификации

5.3. Метод Рунге – Кутты

Билет № 5.3. Общесистемная модель объекта управления. Характеристика групп переменных. Управленческое решение с позиций модели. Проблема «выходных» переменных и пути ее решения

Данный метод является представителем класса приближенных методов

Идея метода чрезвычайно проста и сводится к процедуре последова-

тельных приближений для решения интегрального уравнения, к которому

приводится исходное дифференциальное уравнение.

Пусть поставлена задача Коши

,

Проинтегрируем выписанное уравнение

. (5.2)

Процедура последовательных приближений метода Пикара реализуется согласно следующей схеме

, (5.3)

Пример . Решить методом Пикара уравнение

,

Решение этого уравнения не выражается через элементарные функции.

,

Видно, что при ряд быстро сходится. Метод удобен, если интегралы можно взять аналитически.

Докажем сходимость метода Пикара. Пусть в некоторой ограниченной

области правая частьнепрерывна и, кроме того, удовлетворяет условию Липшица по переменнойт.е.

где - некоторая константа.

В силу ограниченности области имеют место неравенства

Вычтем из (5.3) формулу (5.2), получим для модулей правой и левой

,

.

Окончательно, используя условие непрерывности Липшица, получим

, (5.4)

где - погрешность приближенного решения.

Последовательное применение формулы (5.4) при дает следующую цепочку соотношений при учете того, что

,

,

.

Т.к. , то имеем

.

Заменяя по формуле Стирлинга, окончательно получим оценку погрешности приближенного решения

. (5.5)

Из (5.4) следует, что при модуль погрешности, т.е.

приближенное решение равномерно сходится к точному.

5.2.2. Методы Рунге-Кутта

Данные методы являются численными.

На практике применяются методы Рунге-Кутта, обеспечивающие пост-

роение разностных схем (методов) различного порядка точности. Наиболее

употребительны схемы (методы) второго и четвертого порядков. Их мы и

рассмотрим ниже.

Предварительно введем некоторые понятия и определения. Сеткой на

отрезке называется фиксированное множество точек этого отрезка.

Функция, определенная в данных точках, называется сеточной функцией.

Координаты точек удовлетворяют условиям

Точки являются узлами сетки. Равномерной сеткой наназывается множество точек

, ,

где - шаг сетки.

При решении дифференциальных уравнений приближенным методом основным является вопрос о сходимости. Применительно к разностным методам традиционно более употребительно понятие сходимости при . Обозначим значения сеточной функциизначения точного решения дифференциального уравнения (5.1) в узле-(являются приближенными значениями). Сходимость приозначает следующее. Фиксируем точкуи строим совокупность сетоктаким образом, чтои(при этом). Тогда считают, что численный метод сходится в точке, если

при ,. Метод сходится на отрезке, если он сходится в каждой точке. Говорят, что метод имеет-й порядок точности, если можно найти такое число, чтопри.

Введем далее понятие невязки или погрешности аппроксимции разностного уравнения, заменяющего заданное дифференциальное уравнение, на решении исходного уравнения, т.е. невязка представляет собой результат подстановки точного решения уравнения (5.1)в разностное уравнение. Например, (5.1) можно заменить следующим простейшим разностным уравнением

, .

Тогда невязка определится следующим выражением

.

Приближенное решение не совпадает вообще говоря с , поэтому невязкав-ой точке не равна нулю. Вводят следующее определение: численный метод аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение, еслипри, и имеет-й порядок точности, если.

Доказывается, что порядок точности численного метода решения дифференциального уравнения совпадает с порядком аппроксимации при достаточно общих предположениях.

Теперь перейдем к анализу схем Рунге-Кутта. Сначала обратимся к

схемам второго порядка точности.

Используя формулу Тейлора, решение дифференциального уравнения

(5.1) можно представить в виде

, (5.6)

где обозначено ,,.

Отметим, что согласно (5.1) ,.

производную следующим образом

,

где - пока неизвестные величины. Пусть

Обозначим приближенное значение решения в узле с номером через(именно это решение будет получаться после того, как мы ограничим ряд членами с порядком не выше второго).

Введенные здесь параметры иподлежат определению.

Разлагая правую часть в ряд Тейлора и приводя подобные члены, получим

последовательно

Условием выбора параметров ипоставим близость выраже-

ния (5.7) ряду (5.6), тогда

, ,.

Один параметр остается свободным. Пусть это будет , тогда

, ,

и окончательно из (5.7) с учетом найденных отношений для и

Соотношение (5.8) описывает однопараметрическое семейство двучленных формул Рунге-Кутта.

В специальной литературе доказывается, что если непрерывна и ограничена вместе со своими вторыми производными, то приближенное решение схемы (5.8) равномерно сходится к точному решению с погрешностью, т.е. схема (5.8) обладает вторым порядком точности.

В практике расчетов используют формулы (5.8) при значениях параметра ,.

Из (5.8) выводим

Применение формулы (5.9) сводится к следующей последовательности шагов:

1. Вычисляется грубо значение функции (по схеме ломаных)

2. Определяется наклон интегральной кривой в точке ()

3. Находится среднее значение производной функции на шаге

4. Рассчитывается значение функции в ()-м узле

Данная схема имеет специальное название "предиктор - корректор".

Согласно (5.8) получаем

Задача решается посредством следующих шагов:

1. Вычисляется значение функции в половинном узле

.

2.Определяется значение производной в узле

.

3. Находится значение функции в ()-м узле

Помимо рассмотренных выше двучленных схем широкое распространение в практике расчетов имеют схемы Рунге-Кутта четвертого порядка точности. Ниже даются без вывода соответствующие формулы

(5.10)

Схемы с большим числом членов практически не применяются. Пяти-

членные формулы обеспечивают четвертый порядок точности, шестичленные формулы имеют шестой порядок, но их вид весьма сложен.

Погрешности приведенных схем Рунге-Кутта определяются максималь-

ными значениями соответствующих производных.

Оценку погрешностей легко получить для частного случая правой

части дифференциального уравнения

.

В этом случае решение уравнения может быть сведено к квадратуре и

все схемы разностного решения переходят в формулы численного интегри-

рования. Например, схема (5.9) принимает вид

,

то есть имеет вид формулы трапеций, а схема (5.10) переходит в схему

представляющую собой формулу Симпсона с шагом .

Мажорантные оценки погрешности формул трапеций и Симпсона известны (см. раздел 3.2). Из (3.4) и (3.5) видно, что точность схем Рунге-Кутта достаточно высока.

Выбор той или иной из приведенных схем для решения конкретной за-

дачи определяется следующими соображениями. Если функция в

правой части уравнения непрерывна и ограничена, а также непрерывны и

ограничены ее четвертые производные, то наилучший результат достигает-

ся при использовании схемы (5.10). В том случае, когда функция

не имеет названных выше производных, предельный (четвертый) порядок

схемы (5.10) не может быть достигнут, и целесообразным оказывается

применение более простых схем.

Помимо схем Рунге-Кутта практический интерес представляют многошаговые методы, которые можно описать следующей системой уравнений

где , а- числовые коэффициенты,,.

Согласно данному уравнению расчет начинается с . В этом случае получается соотношение вида

т.е. для начала счета надо иметь начальных значений,. Эти значенияприходится вычислять каким-либо другим методом, например, методом Рунге-Кутта.

Среди многошаговых методов наиболее распространен метод Адамса, схема реализации которого следует из (5.11) при идля:

.

При метод Адамса оказывается явным, а при- неявным.

Будем рассматривать обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) первого порядка

с начальным условием

y(х 0) = у 0 , (2)

где f(x) - некоторая заданная, в общем случае, нелинейная функция двух переменных. Будем считать, что для данной задачи (1)-(2), называемой начальной задачей или задачей Коши, выполняются требования, обеспечивающие существование и единственность на отрезке [х 0 ,b] ее решения у=у(х).

Несмотря на внешнюю простоту уравнения (1), решить его аналитически, т.е. найти общее решение у=у(х, С) с тем, чтобы затем выделить из него интегральную кривую у=у(х), проходящую через заданную точку (х 0 ;у 0), удается лишь для некоторых специальных типов таких уравнений. Поэтому, как и в родственной для (1)-(2) задаче вычисления интегралов, приходится делать ставку на приближенные способы решения начальных задач для ОДУ, которые можно разделить на три группы:

1)приближенно-аналитические методы;

2)графические или машинно-графические методы;

3)численные методы.

К методам первой группы относят такие, которые позволя­ют находить приближение решения у(х) сразу в виде некоторой «хорошей» функции φ (х). Например, широко известен метод степенных рядов, в одну из реализаций которого заложено представление искомой функции у(х) отрезком ряда Тейлора, где тейлоровские коэффициенты, содержащие производные высших порядков, находят последовательным дифференцирова­нием самого уравнения (1). Другим представи­телем этой группы методов является метод последовательных приближений, суть которого приведена чуть ниже.

Название графические методы говорит о приближенном представлении искомого решения у(х) на промежутке в виде графика, который можно строить по тем или иным прави­лам, связанным с графическим толкованием данной задачи. Фи­зическая или, возможно, точнее будет сказать, электротехниче­ская интерпретация начальных задач для определенных видов уравнений лежит в основе машинно-графических методов при­ближенного решения. Реализуя на физико-техническом уровне заданные электрические процессы, на экране осциллографа на­блюдают поведение решений дифференциальных уравнений, описывающих эти процессы. Изменение параметров уравнения приводит к адекватному изменению поведения решений, что по­ложено в основу специализированных аналоговых вычисли­тельных машин (АВМ).

Наконец, наиболее значимыми в настоящее время, характе­ризуемое бурным развитием и проникновением во все сферы че­ловеческой деятельности цифровой вычислительной техники, являются численные методы решения дифференциальных уравнений, предполагающие получение числовой таблицы приближенных значений y i искомого решения у(х) на некото­рой сетке
значений аргумента х. Этим способам и будет посвящено дальнейшее изложение. Что делать с получае­мыми численными значениями решения, зависит от прикладной постановки задачи. Если речь идет о нахождении только значе­ния у(b), тогда точка b включается как конечная в систему рас­четных точек х i , и все приближенные значения y i ≈y(x i), кроме последнего, участвуют лишь как промежуточные, т.е. не требуют ни запоминания, ни обработки. Если же нужно иметь прибли­женное решение у(х) в любой точке х, то для этого к получае­мой числовой таблице значений y i можно применить какой-либо из способов аппроксимации табличных функций, рассмотренных ранее, например, интерполяцию или сплайн-интерполя­цию. Возможны и другие использования численных дан­ных о решении.

Коснемся одного приближенно-аналитического способа решения начальной задачи (1)-(2), в котором искомое ре­шение у=у(х) в некоторой правой окрестности точки х 0 явля­ется пределом последовательности получаемых определенным образом функций у п (х).

Проинтегрируем левую и правую части уравнения (1) в границах от х 0 до х:

Отсюда, с учетом того, что одной из первообразных для у"(х) служит у(х), получаем

или, с использованием начального условия (2),

(3)

Таким образом, данное дифференциальное уравнение (1) с на­чальным условием (2) преобразовалось в интегральное урав­нение (неизвестная функция здесь входит под знак интеграла).

Полученное интегральное уравнение (3) имеет вид зада­чи о неподвижной точке для оператора
Формально к этой зада­че можно применить метод простых итераций

достаточно обстоятельно рассматривавшийся приме­нительно к системам линейных и нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений. Беря в качестве начальной функции y 0 (х) заданную в (2) по­стоянную y 0 , по формуле (4) при п=0 находим первое при­ближение

Его подстановка в (4) при п=1 дает второе приближение

и т.д. Таким образом, этот приближенно-аналитический метод, называемый методом последовательных приближений или методом Пикара определяется формулой

(5)

где n=0,1, 2,... и у 0 (х)=y 0 .

Отметим две характеристики метода последовательных приближений Пикара, которые можно отнести к негативным. Во-первых, в силу известных проблем с эффективным нахождением первообразных, в чистом виде метод (5) редко реализуем. Во-вторых, как видно из вышеприведенного утверждения, этот ме­тод следует считать локальным, пригодным для приближения решения в малой правой окрестности начальной точки. Большее значение метод Пикара имеет для доказательства существования и единственности решения задачи Коши, нежели для его практи­ческого нахождения.

Занятие № 17. Методы Эйлера.

Цель - ознакомить студентов с методами Эйлера решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.