Электронная геометрическая модель объекта в дизайне. Геометрические модели, используемые в системах автоматизированного проектирования Классификация геометрических моделей по внутреннему представлению

Результатом геометрического моделирования некоторого объекта является математическая модель его геометрии. Математическая модель позволяет графически отобразить моделируемый объект, получить его геометрические характеристики, выполнить исследование многих физических свойств объекта путем постановки численных экспериментов, подготовить производство и, наконец, изготовить объект.

Для того чтобы увидеть, как выглядит объект, нужно смоделировать поток падающих и возвращающихся от его поверхностей лучей света. При этом граням модели можно придать необходимый цвет, прозрачность, фактуру и другие физические свойства. Модель можно осветить с разных сторон светом различного цвета и интенсивности.

Геометрическая модель позволяет определить массово-центровочные и инерционные характеристики проектируемого объекта, выполнить измерения длин и углов его элементов. Она дает возможность произвести расчет размерных цепей и определить собираемость проектируемого объекта. Если объект представляет собой механизм, то на модели можно проверить его работоспособность и выполнить расчет кинематических характеристик.

Используя геометрическую модель, можно поставить численный эксперимент по определению напряженно-деформированного состояния, частот и форм собственных колебаний, устойчивости элементов конструкции, тепловых, оптических и других свойств объекта. Для этого нужно дополнить геометрическую модель физическими свойствами, смоделировать внешние условия ее работы и, используя физические законы, выполнить соответствующий расчет.

По геометрической модели можно вычислить траекторию режущего инструмента для механической обработки объекта. При выбранной технологии изготовления объекта геометрическая модель позволяет спроектировать оснастку и выполнить подготовку производства, а также проверить саму возможность изготовления объекта данным способом и качество этого изготовления. Кроме того, возможна графическая имитация процесса изготовления. Но для того, чтобы изготовить объект, кроме геометрической информации нужна информация о технологическом процессе, производственном оборудовании и многом другом, связанном с производством.

Многие из перечисленных проблем образуют самостоятельные разделы прикладной науки и по своей сложности не уступают, а в большинстве случаев и превосходят проблему создания геометрической модели. Геометрическая модель является отправной точкой для дальнейших действий. При построении геометрической модели мы не использовали физические законы, радиус-вектор каждой точки границы раздела внешней и внутренней частей моделируемого объекта является известным, поэтому при построении геометрической модели нам приходится составлять и решать алгебраические уравнения.

Задачи, в которых используются физические законы, приводят к дифференциальным и интегральным уравнениям, решение которых сложнее решения алгебраических уравнений.

В данной главе остановимся на выполнении расчетов, не связанных с физическими процессами. Мы рассмотрим вычисление чисто геометрических характеристик тел и их плоских сечений: площади поверхности, объема, центра масс, моментов инерции и ориентации главных осей инерции. Эти расчеты не требуют привлечения дополнительной информации. Кроме этого, мы рассмотрим проблемы численного интегрирования, которые приходится решать при определении геометрических характеристик.

Определение площади, центра масс и моментов инерции плоского сечения тела приводит к вычислению интегралов по площади сечения. Для плоских сечений мы располагаем информацией об их границах. Интегралы по площади плоского сечения мы сведем к криволинейным интегралам, которые в свою очередь сводятся к определенным интегралам. Определение площади поверхности, объема, центра масс, моментов инерции тела приводит к вычислению поверхностных и объемных интегралов. Мы будем опираться на представление тела с помощью границ , т. е. на описание тела совокупностью ограничивающих его поверхностей и топологическую информацию о взаимном соседстве этих поверхностей. Мы сведем интегралы по объему тела к поверхностным интегралам по поверхностям граней тела, которые в свою очередь сводятся к двойным интегралам. В общем случае область интегрирования представляет собой связную двухмерную область. Вычисление двойных интегралов численными методами можно выполнить для областей простых типов - четырехугольной или треугольной формы. В связи с этим в конце главы рассмотрены методы вычисления определенных интегралов и двойных интегралов по четырехугольным и треугольным областям. Методы разбивки областей определения параметров поверхностей на совокупности треугольных подобластей рассмотрены в следующей главе.

В начале главы рассмотрим сведение интегралов по площади к криволинейным интегралам и сведение объемных интегралов к поверхностным интегралам. На этом будут базироваться вычисления геометрических характеристик моделей.

Среди всего разнообразия моделей, применяемых в науке и технике, самое широкое распространение получили математические модели. Под математическими моделями обычно понимаются различные математические конструкции, построенные на основе современной вычислительной техники, описывающие и воспроизводящие взаимосвязи между параметрами моделируемого объекта. Для установления связи между числом и формой существуют различные способы пространственно-числового кодирования. Простота и доступность решения практических задач зависит от удачно выбранной системы отсчета. Геометрические модели классифицируют на предметные (чертежи, карты, фотографии, макеты, телевизионные изображения и т.п.), расчетные и познавательные. Предметные модели тесно связаны с визуальным наблюдением. Информация, получаемая с предметных моделей, включает в себя сведения о форме и размерах объекта, о его расположении относительно других. Чертежи машин, технических приспособлений и их деталей выполняют с соблюдением ряда условных обозначений, особых правил и определенного масштаба. Чертежи могут быть монтажными, общего вида, сборочными, табличными, габаритными, наружных видов, пооперационными и т.д. В зависимости от стадии проектирования чертежи различают на чертежи технического предложения, эскизного и технического проектов, рабочие чертежи. Чертежи также различают по отраслям производства: машиностроительные, приборостроительные, строительные, горно-геологические, топографические и т.п. Чертежи земной поверхности называются картами. Чертежи различают по методу изображений: ортогональный чертеж, аксонометрия, перспектива, проекции с числовыми отметками, аффинные проекции, стереографические проекции, кинеперспектива и т.п. Геометрические модели существенно различаются по способу исполнения: чертежи подлинники, оригиналы, копии, рисунки, картины, фотографии, киноленты, рентгенограммы, кардиограммы, макеты, модели, скульптуры и т.д. Среди геометрических моделей можно выделить плоские и объемные модели. Графические построения могут служить для получения численных решений различных задач. При вычислении алгебраических выражений числа изображаются направленными отрезками. Для нахождения разности или суммы чисел соответствующие им отрезки откладываются на прямой линии. Умножение и деление осуществляется построением пропорциональных отрезков, которые отсекаются на сторонах угла прямыми параллельными линиями. Комбинация действий умножения и сложения позволяет вычислять суммы произведений и взвешенное среднее. Графическое возведение в целую степень заключается в последовательном повторении умножения. Графическим решением уравнений является значение абсциссы точки пересечения кривых. Графически можно вычислять определенный интеграл, строить график производной, т.е. дифференцировать и интегрировать, а также решать уравнения. Геометрические модели для графических вычислений необходимо отличать от номограмм и расчетных геометрических моделей (РГМ). Графические вычисления требуют каждый раз последовательности построений. Номограммы и РГМ представляют собой геометрические изображения функциональных зависимостей и не требуют для нахождения численных значений новых построений. Номограммы и РГМ используются для вычислений и исследований функциональных зависимостей. Вычисления на РГМ и номограммах заменяется считыванием ответов с помощью элементарных операций, указанных в ключе номограммы. Основными элементами номограмм являются шкалы и бинарные поля. Номограммы подразделяются на элементарные и составные номограммы. Номограммы также различают по операции в ключе. Принципиальное различие РГМ и номограммы состоит в том, что для построения РГМ используются геометрические методы, а для построения номограмм – аналитические методы.

Геометрические модели, изображающие отношения между элементами множества называются графами. Графы – модели порядка и образа действия. На этих моделях нет расстояний, углов, безразлично соединение точек прямой или кривой. В графах различаются только вершины, ребра и дуги. Впервые графы использовались в ходе решения головоломок. В настоящее время графы эффективно используются в теории планирования и управления, теории расписаний, социологии, биологии, в решении вероятностных и комбинаторных задач и т.п. Графическая модель зависимости называется графиком. Графики функций можно строить по заданной его части или по графику другой функции, используя геометрические преобразования. Графическое изображение, наглядно показывающее соотношение каких-либо величин, является диаграммой. Например, диаграмма состояния (фазовая диаграмма), графически изображает соотношение между параметрами состояния термодинамически равновесной системы. Столбчатая диаграмма, представляющая собой совокупность смежных прямоугольников, построенных на одной прямой и представляющих распределение каких-либо величин по количественному признаку, называется гистограммой.

Особенно интересным является использование геометрии для оценки теоретического и практического значения математических рассуждений и анализа сущности математического формализма.Отметим, общепринятые средства передачи приобретаемого опыта, знаний и восприятия (речь, письменность, живопись и т. д.) являются заведомо гомоморфной проекционной моделью реальной действительности. Понятия о проекционном схематизме и операции проектирования относятся к начертательной геометрии и имеют своё обобщение в теории геометрического моделирования.С геометрической точки зрения, любой объект может иметь множество проекций, различающихся как положением центра проектирования и картины, так и их размерностью, т.е. реальные явления природы и общественных отношений допускают различные описания, отличающиеся друг от друга степенью достоверности и совершенства. Основой научного исследования и источником всякой научной теории является наблюдение и эксперимент, который всегда имеет целью выявления некоторой закономерности. Приступая к изучению какого-либо конкретного явления, специалист, прежде всего, собирает факты, т.е. отмечает такие ситуации, которые поддаются экспериментальному наблюдению и регистрации с помощью органов чувств или специальных приборов. Экспериментальное наблюдение всегда носит проекционный характер, так как множеством фактов, неразличимых в данной ситуации (принадлежащих одному проектирующему образу) присваивается одно и то же название (проекция). Пространство, отнесенное к изучаемому явлению, называется операционным, а пространство, отнесенное к наблюдателю, – картинным. Размерность картинного пространства определяется возможностями и средствами наблюдения, т.е. вольно или невольно, сознательно и совершенно стихийно устанавливается экспериментатором, но всегда меньше размерности исходного пространства, которому принадлежат исследуемые объекты, обусловленные разнообразными связями, параметрами, причинами. Размерность исходного пространства очень часто остается не выявленной, т.к. существуют не выявленные параметры, которые влияют на исследуемый объект, но не известны исследователю или не могут быть учтены. Проекционный характер любого экспериментального наблюдения объясняется, прежде всего, невозможностью повторения событий во времени; это один из регулярно возникающих и неуправляемых параметров, независящих от воли экспериментатора. В некоторых случаях этот параметр оказывается несущественным, а в других случаях играет очень важную роль. Отсюда видно, какое большое и принципиальное значение имеют геометрические методы и аналогии при построении, оценке или проверке научных теорий. Действительно, каждая научная теория основывается на экспериментальных наблюдениях, а результаты этих наблюдений представляют собой – как сказано – проекцию изучаемого объекта. При этом реальный процесс может быть описан несколькими различными моделями. С точки зрения геометрии это соответствует выбору различного аппарата проектирования. Он различает объекты по одним признакам и не различает их по другим. Одной из наиболее важных и актуальных задач является выявление условий, при которых происходит сохранение или, наоборот, распадение детерминизма модели, полученной в результате эксперимента или исследования, так как практически всегда важно знать, насколько эффективна и пригодна данная гомоморфная модель. Решение поставленных задач геометрическими средствами оказалось уместным и естественным в связи с использованием указанных выше проекционных воззрений. Все эти обстоятельства послужили основанием для использования аналогий между различными видами проекционных геометрических моделей, полученных при гомоморфном моделировании, и моделями, возникающими в результате исследования. Совершенной модели соответствуют закономерности, устанавливающие однозначное или многозначное, но, во всяком случае, вполне определенное соответствие между некоторыми исходными и искомыми параметрами, описывающими изучаемое явление. В этом случае действует эффект схематизации, преднамеренное сокращение размерности картинного пространства, т.е. отказ от учета ряда существенных параметров, позволяющих экономить средства и избежать ошибок. Исследователь постоянно имеет дело с такими случаями, когда интуитивно незакономерные явления отличаются от закономерных явлений, где существует какая-то связь между параметрами, характеризующими исследуемый процесс, но пока не известен механизм действия этой закономерности, для чего в последствии ставится эксперимент. В геометрии этому факту соответствует различие между распавшейся моделью и совершенной моделью с неявно выраженным алгоритмом. Задачей исследователя в последнем случае является выявление алгоритма в проекции, элементов входа и элементов выхода. Закономерность, полученная в результате обработки и анализа некоторой выборки экспериментальных данных, может оказаться недостоверной из-за неверно сделанной выборки действующих факторов, подвергнутых исследованию, так как она оказывается лишь вырожденным вариантом более общей и более сложной закономерности. Отсюда возникает необходимость в повторных или натурных испытаниях. В геометрическом моделировании этому факту – получению неверного результата – соответствует распространение алгоритма для некоторого подпространства элементов входа, на все элементы входа (т.е. нестабильность алгоритма).

Простейшим реальным объектом, который удобно описывать и моделировать с помощью геометрических представлений, является совокупность всех наблюдаемых физических тел, вещей и предметов. Эта совокупность заполняет физическое пространство, которое можно рассматривать как исходный объект, подлежащий изучению, геометрическое пространство – как его математическую модель. Физические связи и отношения между реальными объектами заменяются позиционными и метрическими отношениями геометрических образов. Описание условий реальной задачи в геометрических терминах является очень ответственным и самым сложным этапом решения задачи, требующим сложной цепи умозаключений и высокого уровня абстракции, в результате которого реальное событие облекается в простую геометрическую конструкцию. Особое значение имеют теоретические геометрические модели. В аналитической геометрии геометрические образы исследуются средствами алгебры на основе метода координат. В проективной геометрии изучаются проективные преобразования и неизменные свойства фигур, независящие от них. В начертательной геометрии изучаются пространственные фигуры и методы решения пространственных задач при помощи построения их изображений на плоскости. Свойства плоских фигур рассматриваются в планиметрии, а свойства пространственных фигур – в стереометрии. В сферической тригонометрии изучаются зависимости между углами и сторонами сферических треугольников. Теория фотограмметрии и стерео фотограмметрии позволяет определять формы, размеры и положения объектов по их фотографическим изображениям в военном деле, космических исследованиях, геодезии и картографии. Современная топология изучает непрерывные свойства фигур и их взаимного расположения. Фрактальная геометрия (введена в науку в 1975 Б. Мандельбротом), изучающая общие закономерности процессов и структур в природе, благодаря современным компьютерным технологиям стала одним из самых плодотворных и прекрасных открытий в математике. Фракталы пользовались бы еще большей популярностью, если бы опирались на достижения современной теории начертательной геометрии.

При решении многих задач начертательной геометрии возникает необходимость в преобразованиях изображений, полученных на плоскостях проекций. Коллинеарные преобразования на плоскости: гомология и аффинное соответствие – имеют существенное значение в теории начертательной геометрии. Так как любая точка на плоскости проекций является элементом модели точки пространства, уместно предположить, что любое преобразование на плоскости порождается преобразованием в пространстве и, наоборот, преобразование в пространстве вызывает преобразование на плоскости. Все преобразования, выполняемые в пространстве и на модели, проводятся с целью упрощения решения задач. Как правило, такие упрощения связаны с геометрическими образами частного положения и, следовательно, суть преобразований, в большинстве случаев, сводится к преобразованию образов общего положения в частное.

Построенная по методу двух изображений плоская модель трехмерного пространства вполне однозначно или, как говорят, изоморфно сопоставляет элементы трехмерного пространства с их моделью. Это позволяет решить на плоскостях практически любую задачу, которая может возникнуть в пространстве. Но иногда по некоторым практическим соображениям, бывает целесообразно дополнить такую модель третьим изображением объекта моделирования. Теоретической основой для получения дополнительной проекции служит геометрический алгоритм, предложенный немецким ученым Гауком.

Задачи классической начертательной геометрии можно условно разделить на позиционные, метрические и конструктивные задачи. Задачи, связанные с выявлением взаимного положения геометрических образов относительно друг друга, называются позиционными. В пространстве прямые линии и плоскости могут пересекаться и могут не иметь пересечения. Открытые позиционные задачи в исходном пространстве, когда кроме задания пересекающихся образов не требуется никаких построений, становятся закрытыми на плоской модели, так как алгоритмы их решения распадаются из-за невозможности выделения геометрических образов. В пространстве прямая линия и плоскость всегда имеют пересечение в собственной или несобственной точке (прямая параллельна плоскости). На модели плоскость задается гомологией. На эпюре Монжа плоскость задается родственным соответствием и для решения задачи необходимо реализовать алгоритм построения соответственных элементов в заданном преобразовании. Решение задачи на пересечение двух плоскостей сводится к определению линии, которая одинаково преобразуется в двух заданных родственных соответствиях. Позиционные задачи на пересечение геометрических образов, занимающих проецирующее положение, значительно упрощаются в связи вырожденностью их проекций и поэтому играют особую роль. Как известно, одна проекция проецирующего образа обладает собирательным свойством, все точки прямой линии вырождаются в одну точку, а все точки и линии плоскости вырождаются в одну прямую линию, поэтому позиционная задача на пересечение сводится к определению недостающей проекции искомой точки или линии. Учитывая простоту решения позиционных задач на пересечение геометрических образов, когда хотя бы один из них занимает проецирующее положение, можно решать позиционные задачи общего вида с помощью методов преобразования чертежа для преобразования одного из образов в проецирующее положение. Имеет место факт: различные пространственные алгоритмы на плоскости моделируются одним и те же алгоритмом. Это можно объяснить тем, что в пространстве существует алгоритмов на порядок больше, чем на плоскости. Для решения позиционных задач используются различные методы: метод сфер, метод секущих плоскостей, преобразования чертежа. Операция проецирования может рассматриваться как способ образования и задания поверхностей.

Существует большой круг задач, связанных с измерением длин отрезков, величин углов, площадей фигур и т. д. Как правило, эти характеристики выражаются числом (две точки определяют число, характеризующее расстояние между ними; две прямые определяют число, характеризующее величину образованного ими угла и т. д.), для определения которого используются различные эталоны или шкалы. Примером таких эталонов являются обычная линейка и транспортир. Для того чтобы определить длину отрезка, надо сравнить его с эталоном, например, линейкой. А как приложить линейку к прямой линии общего положения на чертеже? Масштаб линейки в проекциях будет искажаться, причем для каждого положения прямой будет свой масштаб искажения. Для решения метрических задач на чертеже необходимо задать опорные элементы (несобственную плоскость, абсолютную полярность, масштабный отрезок), используя которые можно построить любую шкалу. Для решения метрических задач на эпюре Монжа используют преобразования чертежа так, чтобы искомые образы не искажались хотя бы в одной проекции. Таким образом, под метрическими задачами будем понимать преобразования отрезков, углов и плоских фигур в положения, когда они изображаются в натуральную величину. При этом можно использовать различные способы. Существует общая схема решения основных метрических задач на измерение расстояния и углов. Наибольший интерес представляют конструктивные задачи, решениекоторых опирается на теорию решения позиционных и метрических задач. Под конструктивными задачами понимаются задачи, связанные с построением геометрических образов, отвечающих определенным теорем начертательной геометрии.

В технических дисциплинах используются статические геометрические модели, которые помогают сформировать представления об определенных предметах, их кон­структивных особенностях, о входящих в их состав элементах, и динамические или функциональные геометрические модели, которые позволяют демонстрировать кинематику, функциональные связи или же технические и технологические процессы. Очень часто геометрические модели позволяют проследить ход таких явлений, которые обычному наблюдению не поддаются и могут быть представлены на основании имеющихся знаний. Изображения позволяют не только представить устройство оп­ределенных машин, приборов и оборудования, но одновременно охарактеризовать их технологические особенности и функциональ­ные параметры.

Чертежи дает не только геометрическую информацию о форме деталей узла. По нему понимается принцип работы узла, перемещение деталей относительно друг друга, преобразование движений, возникновение усилий, напряжений, преобразование энергии в механическую работу и т.п. В техническом вузе чертежи и схемы имеют место во всех изучаемых общетехнических и специальных дисциплинах (теоретическая механика, сопротивление материалов, конструкционные материалы, электромеханика, гидравлика, технология машиностроения, станки и инструменты, теория машин и механизмов, детали машин, машины и оборудование и др.). Для передачи различной информации чертежи дополняют различными знаками и символами, а для их словесного описания используются новые понятия, в основу формирования которых положены фундаментальные понятия физики, химии и математики. В процессе изучения теоретической механики и сопротивления материалов появляются качественно новые виды наглядности: схематичный вид конструкции, расчетная схема, эпюра. Эпюра – это разновидность графика, на котором показаны величина и знак различных внутренних силовых факторов, действующих в любой точке конструкции (продольных и поперечных сил, крутящих и изгибающих моментов, напряжений и т. д.). В курсе сопротивления материалов в процессе решения любой расчётной задачи требуется неоднократное перекодирование данных путём использования различных по своим функциям и уровням абстракции изображений. Схематичный вид, как первая абстракция от реальной конструкции, позволяет сформулировать задачу, выделить её условия и требования. Расчетная схема условно передаёт особенности конструкции, её геометрические характеристики и метрические соотношения, пространственное положение и направление действующих силовых факторов и реакций опор, точки характерных сечений. На её основе создаётся модель решения задачи, и она служит наглядной опорой в процессе реализации стратегии на разных этапах решения (при построении эпюры моментов, напряжений, углов закручивания и других факторов). В дальнейшем при изучении технических дисциплин идёт усложнение структуры используемых геометрических образов с широким использованием условно-графических изображений, знаковых моделей и их различных сочетаний. Таким образом, геометрические модели становятся интегрирующим звеном естественных и технических учебных дисциплин, а также методов профессиональной деятельности будущих специалистов. В основе становления профессиональной культуры инженера положена графическая культура, позволяющая разные виды деятельности объединить в рамках одной профессиональной общности. Уровень подготовки специалиста определяется тем, насколько развито и подвижно его пространст­венное мышление, так как, инвариантной функцией интеллектуальной деятельности инженера является оперирование образными графическими, схематическими и знаковыми моделями объектов.

Похожая информация.

Моделирование – один из основных методов познания, который заключается в выделении из сложного явления (объекта) некоторых частей и замещении их другими объектами, более понятными и удобными для описания, объяснения и разработки.

Модель – реальный физический объект или процесс, теоретическое построение, упорядоченный набор данных, которые отражают некоторые элементы или свойства изучаемого объекта или явления, существенные с точки зрения моделирования.

Математическая модель – модель объекта, процесса или явления, представляющая собой математические закономерности, с помощью которых описаны основные характеристики моделируемого объекта, процесса или явления.

Геометрическое моделирование – раздел математического моделирования – позволяет решать разнообразные задачи в двумерном, трехмерном и, в общем случае, в многомерном пространстве.

Геометрическая модель включает в себя системы уравнений и алгоритмы их реализации. Математической основой построения модели являются уравнения, описывающие форму и движение объектов. Все многообразие геометрических объектов является комбинацией различных примитивов – простейших фигур, которые в свою очередь состоят из графических элементов - точек, линий и поверхностей.

В настоящее время геометрическое моделирование успешно используется в управлении и других областях человеческой деятельности. Можно выделить две основные области применения геометрического моделирования: проектирование и научные исследования.

Геометрическое моделирование может использоваться при анализе числовых данных. В таких случаях исходным числовым данным ставится в соответствие некоторая геометрическая интерпретация, которая затем анализируется, а результаты анализа истолковываются в понятиях исходных данных.

Этапы геометрического моделирования :

● постановка геометрической задачи, соответствующая исходной прикладной задаче или ее части;

● разработка геометрического алгоритма решения поставленной задачи;

● реализация алгоритма при помощи инструментальных средств;

● анализ и интерпретация полученных результатов.

Методы геометрического моделирования :

● аналитический;

● графический;

● графический, с использованием средств машинной графики;

● графоаналитические методы.

Графоаналитические методы основываются на разделах вычислительной геометрии, таких как теория R-функций, теория поверхностей Кунса, теория кривых Безье, теория сплайнов и др.

Для современных научных исследований характерно использование, наряду с двумерными и трехмерными, многомерных геометрических моделей (физика элементарных частиц, ядерная физика и т. д.).

Системы координат

Система координат (СК) – совокупность базисных (линейно независимых) векторов и единиц измерения расстояния вдоль этих векторов (e 1, e 2, …, en ).

Если базисные вектора нормированы (единичной длины) и взаимно ортогональны, то такая СК называется декартовой (ДСК).

Мировая система координат (МСК) – xyz – содержит точку отсчета (начало координат) и линейно независимый базис, благодаря которым становится возможным цифровое описание геометрических свойств любого графического объекта в абсолютных единицах.

Экранная система координат (ЭСК) – x эy эz э. В ней задается положение проекций геометрических объектов на экране дисплея. Проекция точки в ЭСК имеет координату z э = 0. Тем не менее, не следует отбрасывать эту координату, поскольку МСК и ЭСК часто выбираются совпадающими, а, вектор проекции [x э, y э, 0] может участвовать в преобразованиях, где нужны не две, а три координаты.

Система координат сцены (СКС) – x сy сz с – описывает положение всех объектов сцены - некоторой части мирового пространства с собственным началом отсчета и базисом, которые используются для описания положения объектов независимо от МСК.

Объектная система координат (ОСК) – x оy оz о – связана с конкретным объектом и совершает с ним все движения в СКС или МСК.

В трехмерном пространстве (R3):

● ортогональная декартова СК (x , y , z );

● цилиндрическая СК (ρ, y , φ);

● сферическая СК (r , φ, ω).

Соотношение между декартовой СК и цилиндрической СК :

Соотношение между декартовой СК и сферической СК :
Соотношение между цилиндрической СК и сферической СК : Аффинные преобразования

Аффинным называется преобразование, обладающее следующими свойствами :

● любое аффинное преобразование может быть представлено как последовательность операций из числа простейших: сдвиг, растяжение/сжатие, поворот;

● сохраняются прямые линии, параллельность прямых, отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой, и отношение площадей фигур.

Аффинные преобразования координат на плоскости :

(x , y ) – двумерная система координат,

(X , Y ) – координаты старой СК в новой системе координат.

Обратное преобразование:

2. Растяжение/сжатие осей:

Обратное преобразование

Обратное преобразование – поворот системы (X ,Y ) на угол (-α):

Аффинные преобразования объектов на плоскости .

x , y – старые координаты точки, X , Y – новые координаты точки.

Сдвиг:
Обратное преобразование:
Масштабирование объекта:

Обратное преобразование:

3. Поворот вокруг центра координат:

Обратное преобразование:

Лекция 8 Геометрические модели плоских объектов Основные понятия

Положение точки в пространстве Rn (n -мерном пространстве) задается радиус-вектором p = [p 1, p 2, … , pn ], имеющим n координат p 1, p 2, … , pn и разложение по n линейно-независимым базисным векторам e 1, e 2, … , en :

https://pandia.ru/text/78/331/images/image019_47.gif" width="277" height="59">

Линия на плоскости может быть задана с помощью уравнения в неявной форме:

(НФ) f (x ,y )= 0;

или в параметрической форме:

(ПФ) p (t )= [x (t ), y (t )].

В любой регулярной (гладкой и некратной) точке на линии p 0= [x 0, y 0]= p (t 0) возможна линеаризация кривой, т. е. проведение к ней касательной прямой, уравнения которой имеют вид

(НФ) Nx (x - x 0) + Ny (y - y 0) = 0 или N ◦ (p - p 0) = 0,

(ПФ) x (t ) = x 0 + Vx t , y (t )= y 0 + Vy t или p (t ) = p 0 + Vt .

Вектор нормали N = [Nx , Ny ] ортогонален линии и направлен в ту сторону, где f (p )> 0.

Направляющий вектор линии V = [Vx , Vy ] начинается в точке p 0 и направлен по касательной к p (t ) в сторону увеличения t .

Векторы N и V ортогональны, т. е. N ◦ V = 0 или NxVx + NyVy = 0.

Связь вектора нормали и направляющего вектора:

N =[Vy , - Vx ], V =[-Ny , Nx ]

Способы описания (модели) прямой линии

Неявное уравнение прямой задается тремя коэффициентами A , B и D , составляющими вектор F = [A , B , D ]:

(НФ): Ax + By + D =0.

Хотя бы одно из чисел A или B должно быть ненулевым.

Если оба коэффициента ненулевые (A ≠0 и B ≠0), то прямая проходит наклонно к осям координат и пересекается с ними в точках (-D / A , 0) и (0, - D / B ).

При A =0, B ≠0 уравнение By + D =0 описывает горизонтальную прямую y = – D / B .

При A ≠0, B = 0 уравнение Ax + D =0 описывает вертикальную прямую x = – D / A .

Прямая проходит через начало координат: f (0,0)=0 при D =0.

Благодаря свойству прямой разделять плоскость на две полуплоскости с противоположными знаками, неявное уравнение позволяет определять положение точки (точек) на плоскости относительно прямой:

1) точка q лежит на прямой, если f (q )=0;

2) точки a и b лежат по одну сторону от прямой, если f (a )∙ f (b )>0;

3) точки a и b лежат по разные стороны от прямой, если f (a )∙ f (b )0 точка a лежит в том же полупространстве, куда направлена нормаль, а угол Ð (a - p 0, N ) острый;

● при f (b )