Элементарные преобразования систем векторов. Ступенчатая система векторов
Пусть – система векторов m из . Основными элементарными преобразованиями системы векторов являются
1. - добавление к одному из векторов (вектору ) линейной комбинации остальных.
2. - умножение одного из векторов (вектора ) на число не равное нулю.
3. перестановка двух векторов () местами. Системы векторов , будем называть эквивалентными (обозначение ), если существует цепочка элементарных преобразований переводящая первую систему во вторую.
Отметим свойства введенного понятия эквивалентности векторов
(рефлексивность)
Из следует, что (симметричность)
Если и , то (транзитивность) Теорема. Если система векторов линейно независима, а ей эквивалентна, то система – линейно независима. Доказательство. Очевидно, что теорему достаточно доказать для системы полученной из с помощью одного элементарного преобразования.. Предположим что система векторов линейно независима. Тогда из вытекает, что . Пусть система получена из с помощью одного элементарного преобразования. Очевидно, что перестановка векторов или умножение одного из векторов на число не равное нулю не меняет линейной независимости системы векторов. Допустим теперь, что система векторов получена из системы прибавлением к вектору линейной комбинации остальных, . Нужно установить, что (1) вытекает что Поскольку , то из (1) получаем . (2)
Т.к. система – линейно независима, то из (2) следует, что для всех .
Отсюда получаем . Что и требовалось доказать.
57. Матрицы. сложение матриц умножение матрицы на скляр матрицы как векторное пространство его размерность.
Вид матрицы: квадратная
Сложение матриц
Свойства сложения матриц:
1.коммутативность: A+B = B+A;
Умножение матрицы на число
Умножение матрицы А на число ¥ (обозначение: ¥A) заключается в построении матрицы B, элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы A на это число, то есть каждый элемент матрицы B равен: Bij=¥Aij
Свойства умножения матриц на число:
2. (λβ)A = λ(βA)
3. (λ+β)A = λA + βA
4. λ(A+B) = λA + λB
Вектор-строка и вектор-столбец
Матрицы размера m x 1 и 1 x n являются элементами пространств K^n и K^m соответственно:
матрица размера m x1 называется вектор-столбцом и имеет специальное обозначение:
Матрица размера 1 x n называется вектор-строкой и имеет специальное обозначение:
58. Матрицы. Сложение умножение матриц. Матрицы как кольцо, свойства кольца матриц .
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m одинаковой длины строк или n одинаковой длины стробцов.
aij- элемент матрицы, который находится в i-ой строке и j-м столбце.
Вид матрицы: квадратная
Квадратная матрица - это матрица с равным числом столбцов и строк.
Сложение матриц
Сложение матриц А+В есть операция нахождения матрицы С, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц А и В, то есть каждый элемент матрицы равен Сij=Aij + Bij
Свойства сложения матриц:
1.коммутативность: A+B = B+A;
2.ассоциативность: (A+B)+C =A+(B+C);
3.сложение с нулевой матрицей: A + Θ = A;
4.существование противоположной матрицы: A + (-A) = Θ;
Все свойства линейных операций повторяют аксиомы линейного пространства и поэтому справедлива теорема:
Множество всех матриц одинаковых размеров mxn с элементами из поля P (поля всех действительных или комплексных чисел) образует линейное пространство над полем P (каждая такая матрица является вектором этого пространства).
Умножение матриц
Умножение матриц (обозначение: АВ, реже со знаком умножения А х В) - есть операция вычисления матрицы С, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.
Количество столбцов в матрице А должно совпадать с количеством строк в матрице В, иными словами, матрица А обязана быть согласованной с матрицей В. Если матрица А имеет размерность m x n , B - n x k , то размерность их произведения AB=C есть m x k .
Свойства умножения матриц:
1.ассоциативность (AB)C = A(BC);
2.некоммутативность (в общем случае): AB BA;
3.произведение коммутативно в случае умножения с единичной матрицей: AI = IA;
4.дистрибутивность: (A+B)C = AC + BC, A(B+C) = AB + AC;
5.ассоциативность и коммутативность относительно умножения на число: (λA)B = λ(AB) = A(λB);
59.*Обратимые матрицы. Особенные и неособенные элементарные преобразования строк матрицы. Элементарные матрицы. Умножение на элементарные матрицы.
Обратная матрица - такая матрица A −1 , при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E :
Элементарными преобразованиями строк называют:
Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов .
Элементарные преобразования обратимы .
Обозначение указывает на то, что матрица может быть получена из путём элементарных преобразований (или наоборот).
Ниже рассматриваются системы линейных уравнений над полем переменными ДООПРЕДЕЛЕНИЕ. Две системы линейных уравнений называются равносильными, если каждое решение любой из этих систем является решением другой системы.
Следующие предложения выражают свойства равносильности, вытекающие из определения равносильности и отмеченных выше свойств следования систем.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.2. Две системы линейных уравнений равносильны тогда и только тогда, когда каждая из этих систем является следствием другой системы.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.3. Две системы линейных уравнений равносильны тогда и только тогда, когда множество всех решений одной системы совпадает с множеством всех решений другой системы.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.4. Две системы линейных уравнений равносильны в том и только в том случае, если равносильны предикаты, определяемые этими системами.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются следующие преобразования:
(а) умножение обеих частей какого-нибудь уравнения системы на отличный от нуля скаляр;
(Р) прибавление (вычитание) к обеим частям какого-либо уравнения системы соответствующих частей другого уравнения системы, умноженных на скаляр;
Исключение из системы или присоединение к системе линейного уравнения с нулевыми коэффициентами и нулевым свободным членом.
ТЕОРЕМА 2.5. Если одна система линейных уравнений получается из другой системы линейных уравнений в результате цепочки элементарных преобразований, то эти две системы равносильны.
Доказательство. Пусть дана система
Если умножить одно из ее уравнений, например первое на отличный от нуля скаляр X, то получим систему
Каждое решение системы (1) есть также решение системы (2).
Обратно: если - любое решение системы (2),
то, умножив первое равенство на и не изменяя последующих равенств, получим равенства, показывающие, что вектор является решением системы (1). Следовательно, система (2) равносильна исходной системе (1). Так же легко проверить, что однократное применение к системе (1) элементарного преобразования (Р) или приводит к системе, равносильной исходной системе (1). Так как отношение равносильности транзитивно, то многократное применение элементарных преобразований приводит к системе уравнений, равносильной исходной системе (1).
СЛЕДСТВИЕ 2.6. Если к одному из уравнений системы линейных уравнений прибавить линейную комбинацию других уравнений системы, то получится система уравнений, равносильная исходной.
СЛЕДСТВИЕ 2.7. Если исключить из системы линейных уравнений или присоединить к ней уравнение, являющееся линейной комбинацией других уравнений системы, то получится система уравнений, равносильная исходной системе.
Две системы линейных уравнений от одного набора x 1 ,..., x n неизвестных и соответственно из m и p уравнений
Называются эквивалентными, если их множества решений и совпадают (т. е. подмножества и в K n совпадают, ). Это означает, что: либо они одновременно являются пустыми подмножествами (т. е. обе системы (I) и (II) несовместны), либо они одновременно непустые , и (т. е. каждое решение системы I является решением системы II и каждое решение системы II является решением системы I).
Пример 3.2.1 .
Метод Гаусса
План алгоритма, предложенного Гауссом, был весьма прост:
- применять к системе линейных уравнений последовательно преобразования, не меняющие множество решений (таким образом мы сохраняем множество решений исходной системы), и перейти к эквивалентной системе, имеющей "простой вид" (так называемую ступенчатую форму);
- для "простого вида" системы (со ступенчатой матрицей) описать множество решений, которое совпадает с множеством решений исходной системы.
Отметим, что близкий метод "фан-чен" был известен уже в древнекитайской математике.
Элементарные преобразования систем линейных уравнений (строк матриц)
Определение 3.4.1 (элементарное преобразование 1-го типа) . При к i -му уравнению системы прибавляется k -е уравнение, умноженное на число (обозначение: (i)"=(i)+c(k) ; т. е. лишь одно i -е уравнение (i) заменяется на новое уравнение (i)"=(i)+c(k) ). Новое i -е уравнение имеет вид (a i1 +ca k1)x 1 +...+(a in +ca kn)x n =b i +cb k , или, кратко,
Т. е. в новом i -м уравнении a ij "=a ij +ca kj , b i "=b i +cb k .
Определение 3.4.2 (элементарное преобразование 2-го типа) . При i -е и k -е уравнение меняются местами, остальные уравнения не изменяются (обозначение: (i)"=(k) , (k)"=(i) ; для коэффициентов это означает следующее: для j=1,...,n
Замечание 3.4.3
. Для удобства в конкретных вычислениях можно применять элементарное преобразование 3-го типа: i
-е уравнение умножается на ненулевое число 
, (i)"=c(i)
.
Предложение 3.4.4 . Если от системы I мы перешли к системе II при помощи конечного числа элементарных преобразований 1-го и 2-го типа, то от системы II можно вернуться к системе I также элементарными преобразованиями 1-го и 2-го типа.
Доказательство.
Замечание 3.4.5
. Утверждение верно и с включением в число элементарных преобразований элементарного преобразования 3-го типа. Если и (i)"=c(i)
, то 
и (i)=c -1 (i)"
.
Теорема 3.4.6 .После последовательного применения конечного числа элементарных преобразований 1-го или 2-го типа к системе линейных уравнений получается система линейных уравнений, эквивалентная первоначальной.
Доказательство. Заметим, что достаточно рассмотреть случай перехода от системы I к системе II при помощи одного элементарного преобразования и доказать для множеств решений включение (поскольку в силу доказанного предложения от системы II можно вернуться к системе I и поэтому будем иметь включение , т. е. будет доказано равенство ).
К элементарным преобразованиям относятся:
1)Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю.
2)Перестановка уравнений местами.
3)Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех х.
ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА – КАПЕЛЛИ
(условие совместности системы)
(Леопольд Кронекер (1823-1891) немецкий математик)
Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.
Очевидно, что система (1) может быть записана в виде:
x 1 + x 2 + … + x n
Доказательство.
1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход А®А * не изменяют ранга.
2) Если RgA = RgA * , то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.
Пример. Определить совместность системы линейных уравнений:
~ 
. 
RgA = 2.
A* = 
RgA* = 3.
Система несовместна.
Пример. Определить совместность системы линейных уравнений.
А = ; = 2 + 12 = 14 ¹ 0; RgA = 2;
A* = 
RgA* = 2.
Система совместна. Решения: x 1 = 1; x 2 =1/2.
2.6 МЕТОД ГАУССА
(Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) немецкий математик)
В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.
Рассмотрим систему линейных уравнений:
Разделим обе части 1–го уравнения на a 11 ¹ 0, затем:
1) умножим на а 21 и вычтем из второго уравнения
2) умножим на а 31 и вычтем из третьего уравнения
, где d 1 j = a 1 j /a 11 , j = 2, 3, …, n+1.
d ij = a ij – a i1 d 1j i = 2, 3, … , n; j = 2, 3, … , n+1.
Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
, откуда получаем: x 3 = 2; x 2 = 5; x 1 = 1.
Пример. Решить систему методом Гаусса.
Составим расширенную матрицу системы.
Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:
, откуда получаем: z = 3; y = 2; x = 1.
Полученный ответ совпадает с ответом, полученным для данной системы методом Крамера и матричным методом.
Для самостоятельного решения:
Ответ: {1, 2, 3, 4}.
ТЕМА 3. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Определение. Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.
Определение. Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.
Определение. Векторы называются коллинеарными , если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.
Определение. Векторы называются компланарными , если существует плоскость, которой они параллельны.
Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.
Определение. Векторы называются равными , если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.
Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему.
Определение. Линейными операциями над векторами называется сложение и умножение на число.
Суммой векторов является вектор -
Произведение - 
, при этом коллинеарен .
Вектор сонаправлен с вектором ( ), если a > 0.
Вектор противоположно направлен с вектором ( ¯ ), если a < 0.
СВОЙСТВА ВЕКТОРОВ
1) + = + - коммутативность.
2) + ( + ) = ( + )+
5) (a×b) = a(b ) – ассоциативность
6) (a+b) = a + b - дистрибутивность
7) a( + ) = a + a
Определение.
1) Базисом в пространстве называются любые 3 некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.
2) Базисом на плоскости называются любые 2 неколлинеарные векторы, взятые в определенном порядке.
3)Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор.
Определение 5. Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются ее следующие преобразования:
1) перестановка любых двух уравнений местами;
2) умножение обеих частей одного уравнения на любое число ;
3) прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое число k ;
(при этом все остальные уравнения остаются неизменными).
Нулевым уравнением называем уравнение следующего вида:
Теорема 1. Любая конечная последовательность элементарных преобразований и преобразование вычеркивание нулевого уравнения переводит одну систему линейных уравнений в равносильную ей другую систему линейных уравнений.
Доказательство. В силу свойства 4 предыдущего пункта достаточно доказать теорему для каждого преобразования отдельно.
1. При перестановке уравнений в системе местами сами уравнения неизменяются, поэтому по определению полученная система равносильная первоначальной.
2. В силу первой части доказательства достаточно доказать утверждение для первого уравнения. Умножим первое уравнение системы (1) на число , получим систему
(2)
Пусть 
системы (1) . Тогда числа удовлетворяют всем уравнениям системы (1). Так как все уравнения системы (2) кроме первого совпадают с уравнениями системы (1), то числа удовлетворяют всем эти уравнениям. Так как числа удовлетворяют первому уравнению системы (1), то имеет место верное числовое равенство:
Умножая его на число K , получим верное числовое равенство:
Т. о. устанавливаем, что
системы (2).
Обратно, если решение системы (2), то числа удовлетворяют всем уравнениям системы (2). Так как все уравнения системы (1) кроме первого совпадают с уравнениями системы (2), то числа удовлетворяют всем эти уравнениям. Так как числа удовлетворяют первому уравнению системы (2), то справедливо числовое равенство (4). Разделив обе его части на число ,получим числовое равенство (3) и доказываем, что
решение системы (1).
Отсюда по определению 4 система (1) равносильна системе (2).
3. В силу первой части доказательства достаточно доказать утверждение для первого и второго уравнения системы. Прибавим к обеим частям первому уравнению системы соответствующие части второго умноженные на число K , получим систему
(5)
Пусть решение системы (1) . Тогда числа удовлетворяют всем уравнениям системы (1). Так как все уравнения системы (5) кроме первого совпадают с уравнениями системы (1), то числа удовлетворяют всем эти уравнениям. Так как числа удовлетворяют первому уравнению системы (1), то имеют место верные числовые равенства:
Прибавляя почленно к первому равенству второе, умноженное на число K получим верное числовое равенство.
