Виды однородных уравнений. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Готовые ответы к примерам на однородные дифференциальные уравнения первого порядка ищут многие студенты (ДУ 1 порядка самые распространенные в обучении), далее Вы их сможете подробно разобрать. Но прежде чем перейти к рассмотрению примеров рекомендуем внимательно прочитать краткий теоретический материал.
Уравнения вида P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, где функции P(x,y) і Q(x,y) являются однородными функциями одного порядка называют однородным дифференциальным уравнением (ОДР).

Схема решения однородного дифференциального уравнения

1. Сначала нужно применить подстановку y=z*x , где z=z(x) – новая неизвестная функция (таким образом исходное уравнение сводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.
2. Производная произведения равна y"=(z*x)"=z"*x+z*x"=z"*x+z или в дифференциалах dy=d(zx)=z*dx+x*dz.
3. Далее подставляем новую функцию у и ее производную y" (или dy ) в ДУ с разделяющимися переменными относительно x та z .
4. Решив дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, сделаем обратную замену y=z*x , поэтому z= y/х , и получим общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения .
5. Если задано начальное условие y(x 0)=y 0 , то находим частное решение задачи Коши. В теории все звучит легко, однако на практике не у всех так весело получается решать дифференциальные уравнения. Поэтому для углубления знаний рассмотрим распространенные примеры. На легких задачах нет особо Вас научить, поэтому сразу перейдем к более сложным.

Вычисления однородных дифференциальных уравнений первого порядка

Пример 1.

Решение: Делим правую сторону уравнения на переменную, которая стоит множителем возле производной. В результате придем к однородного дифференциального уравнения 0 порядка

И здесь многим пожалуй стало интересно, как определить порядок функции однородного уравнения?
Вопрос достаточно уместен, а ответ на него следующий:
в правую сторону подставляем вместо функции и аргумента значение t*x, t*y . При упрощении получают параметр "t" в определенном степени k , его и называют порядком уравнения. В нашем случае "t" сократится, что равносильно 0-м степени или нулевом порядке однородного уравнения.
Далее в правой стороне можем перейти к новой переменной y=zx; z=y/x .
При этом не забываем выразить производную "y" через производную новой переменной. По правилу части находим

Уравнения в дифференциалах примет вид

Совместные слагаемые в правой и левой части сокращаем и переходим к дифференциальному уравнению с разделенными переменными.

Проинтегрируем обе части ДУ

Для удобства дальнейших преобразований постоянную сразу вносим под логарифм

По свойствам логарифмов полученное логарифмическое уравнение эквивалентно следующему

Эта запись еще не решение (ответ), необходимо вернуться к выполненной замене переменных

Таким образом находят общее решение дифференциальных уравнений . Если Вы внимательно читали предыдущие уроки, то мы говорили, что схему вычисления уравнений с разделенными переменными Вы должны уметь применять свободно и такого рода уравнения придется вычислять для более сложных типов ДУ.

Пример 2. Найти интеграл дифференциального уравнения

Решение: Схема вычислений однородных и сводных к ним ДУ Вам тепер знакома. Переносим переменную в правую сторону уравнения, а также в числителе и знаменателе выносим x 2 , как общий множитель

Таким образом получим однородное ДУ нулевого порядка.
Следующим шагом вводим замену переменных z=y/x, y=z*x , о которой постоянно будем напоминать, чтобы Вы ее заучили

После этого ДУ записываем в дифференциалах

Далее преобразуем зависимость к дифференциальному уравнению с отделенными переменными

и интегрированием решаем его.

Интегралы несложные, остальные преобразования выполнены на основе свойств логарифма. Последнее действие включает экспонирования логарифма. Наконец возвращаемся к исходной замене и записываем в форме

Константа "C" принимает любое значение. Все кто учится заочно имеют проблемы на экзаменах с данным типом уравнений, поэтому просьба внимательно посмотреть и запомнить схему вычислений.

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение

Решение: Как следует из приведенной выше методики, дифференциальные уравнения такого типа решают методом введения новой переменной. Перепишем зависимость так, чтобы производная была без переменной

Далее по анализу правой части видим, что везде присутствует частка -ее и обозначаем за новую неизвестную
z=y/x, y=z*x .
Находим производную от y

С учетом замены первоначальное ДУ перепишем в виде

Одинаковые слагаемые упрощаем, а все получившие сводим к ДУ с отделенными переменными

Интегрированием обеих частей равенства

приходим к решению в виде логарифмов

Экспонируя зависимости находим общее решение дифференциального уравнения

которое после подстановки в него начальной замены переменных примет вид

Здесь С - постоянная, которую можно доопределить из условия Коши. Если не задана задача Коши то стала принимает произвольное действительное значение.
Вот и вся мудрость в исчислении однородных дифференциальных уравнений.

В настоящее время по базовому уровню изучения математики на изучение математики в старших классах предусмотрено всего 4 часа (2 часа алгебры, 2 часа геометрии). В сельских малокомплектных школах стараются увеличить количество часов за счет школьного компонента. Но если класс гуманитарный, то школьный компонент добавляется на изучение предметов гуманитарного направления. В маленьком селе зачастую школьнику выбирать не приходится, он учится в том классе; какой имеется в школе. Становиться же юристом, историком или журналистом (бывают такие случаи) не собирается, а хочет стать инженером или экономистом, поэтому ЕГЭ по математике должен сдать на высокие балы. При таких обстоятельствах, учителю математики приходится находить свой выход из создавшейся ситуации, к тому же по учебнику Колмогорова изучение темы «однородные уравнения» не предусмотрено. В прошлые годы для введения данной темы и закрепления мне требовалось два сдвоенных урока. К сожалению, проверка образовательного надзора у нас запретила сдвоенные уроки в школе, поэтому количество упражнений пришлось сократить до 45 минут, и соответственно уровень сложности упражнений понизить до среднего. Предлагаю вашему вниманию план-конспект урока по данной теме в 10 классе с базовым уровнем изучения математики в сельской мало комплектной школе.

Тип урока : традиционный.

Цель : научиться решать типичные однородные уравнения.

Задачи :

Познавательные :

Развивающие :

Воспитательные :

• Воспитание трудолюбия через терпеливое выполнение заданий, чувства товарищества через работу в парах и группах.

Ход урока

I. Организационный этап (3 мин.)

II. Проверка знаний, необходимых для усвоения нового материала (10 мин.)

Выявить основные затруднения с дальнейшим разбором выполненных заданий. Ребята выполняют по выбору 3 варианта. Задания, дифференцированные по степени сложности и по уровню подготовленности ребят, с последующим объяснением у доски.

1 уровень . Решите уравнения:

1. 3(х+4)=12,
2. 2(х-15)=2х-30
3. 5(2-х)=-3х-2(х+5)
4. x 2 -10х+21=0 Ответы: 7;3

2 уровень . Решите простейшие тригонометрические уравнения и биквадратное уравнение:

ответы:

б) x 4 -13x 3 +36=0 Ответы: -2; 2; -3; 3

3 уровень. Решение уравнений методом замены переменных:

б) x 6 -9x 3 +8=0 Ответы:

III. Сообщение темы, установка целей и задач.

Тема: Однородные уравнения

Цель : научиться решать типичные однородные уравнения

Задачи :

Познавательные :

• познакомиться с однородными уравнениями, научиться решать наиболее часто встречаемые виды таких уравнений.

Развивающие :

• Развитие аналитического мышления.
• Развитие математических навыков: научиться выделять основные признаки, по которым однородные уравнения отличаются от других уравнений, уметь устанавливать сходство однородных уравнений в их различных проявлениях.

IV. Усвоение новых знаний (15 мин.)

1. Лекционный момент.

Определение 1 (Записываем в тетрадь). Уравнение вида P(x;y)=0 называется однородным, если P(x;y) однородный многочлен.

Многочлен от двух переменных х и у называют однородным, если степень каждого его члена равна одному и тому же числу к.

Определение 2 (Просто ознакомление). Уравнения вида

называют однородным уравнением степени n относительно u(x) и v(x). Поделив обе части уравнения на (v(x))n, можно с помощью замены получить уравнение

Что позволяет упростить исходное уравнение. Случай v(x)=0 необходимо рассмотреть отдельно, так как на 0 делить нельзя.

2. Примеры однородных уравнений:

Поясните: почему они однородные, приведите свои примеры таких уравнений.

3. Задание на определение однородных уравнений:

Среди заданных уравнений определить однородные уравнения и объяснить свой выбор:

После того как объяснили свой выбор на одном из примеров показать способ решения однородного уравнения:

4. Решить самостоятельно:

Ответ:

б) 2sin x – 3 cos x =0

Разделим обе части уравнения на cos x, получим 2 tg x -3=0, tg x=⅔ , x=arctg⅔ +

5. Показать решение примера из брошюры «П.В. Чулков. Уравнения и неравенства в школьном курсе математики. Москва Педагогический университет «Первое сентября» 2006 стр.22». Как один из возможных примеров ЕГЭ уровня С.

V . Решить для закрепления по учебнику Башмакова

стр 183 № 59 (1,5) или по учебнику под редакцией Колмогорова: стр81 №169 (а, в)

ответы:

VI . Проверочная, самостоятельная работа (7 мин.)

1 вариант	2 вариант
Решить уравнения:
а) sin 2 x-5sinxcosx+6cos 2 x=0	а) 3sin 2 x+2sin x cos x-2cos 2 x=0
б) cos 2 -3sin 2 =0	б)

Ответы к заданиям:

1 вариант а) Ответ: arctg2+πn,n € Z; б) Ответ: ±π/2+ 3πn,n € Z; в)

2 вариант а) Ответ: arctg(-1±31/2)+πn,n € Z; б) Ответ: -arctg3+πn, 0,25π+πk, ; в) (-5;-2); (5;2)

VII . Домашнее задание

№169 по Колмогорову, №59 по Башмакову.

Кроме этого, решить систему уравнений:

Ответ: arctg(-1±√3) +πn ,

Использованная литература:

1. П.В. Чулков. Уравнения и неравенства в школьном курсе математики. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006. стр. 22
2. А. Мерзляк, В. Полонский, Е. Рабинович, М. Якир. Тригонометрия. – М.: «АСТ-ПРЕСС», 1998, стр. 389
3. Алгебра для 8 класса под редакцией Н.Я. Виленкина. – М.: «Просвещение», 1997.
4. Алгебра для 9 класса под редакцией Н.Я. Виленкина. Москва «Просвещение», 2001.
5. М.И. Башмаков. Алгебра и начала анализа. Для 10-11 классов – М.: «Просвещение» 1993
6. Колмогоров, Абрамов, Дудницын. Алгебра и начала анализа. Для 10-11 классов. – М.: «Просвещение», 1990.
7. А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа. Часть 1 Учебник 10-11 классы. – М.: «Мнемозина», 2004.

Стоп! Давай всетаки попытаемся разобраться в этой громоздкой формуле.

На первом месте должна идти первая переменная в степени с некоторым коэффициентом. В нашем случае это

В нашем случае это. Как мы выяснили, значит здесь степень при первой переменной - сходится. И вторая переменная в первой степени - на месте. Коэффициент.

У нас это.

Первая переменная в степени, и вторая переменная в квадрате, с коэффициентом. Это последний член уравнения.

Как видишь, наше уравнение подходит под определение в виде формулы.

Давай рассмотрим вторую (словесную) часть определения.

У нас две неизвестные и. Здесь сходится.

Рассмотрим все слагаемые. В них сумма степеней неизвестных должна быть одинакова.

Сумма степеней равна.

Сумма степеней равна (при и при).

Сумма степеней равна.

Как видишь, все сходится!!!

Теперь давай потренируемся в определении однородных уравнений.

Определи, какие из уравнений - однородные:

Однородные уравнения - уравнения под номерами:

Рассмотрим отдельно уравнение.

Если мы разделим каждое слагаемое на разложим каждое слагаемое, то получим

А это уравнение полностью попадает под определение однородных уравнений.

Как решать однородные уравнения?

Пример 2.

Разделим уравнение на.

У нас по условию y не может быть равен. Поэтому мы можем смело делить на

Произведя замену, мы получим простое квадратное уравнение:

Так как это приведенное квадратное уравнение, воспользуемся теоремой Виета:

Произведя обратную замену, получаем ответ

Ответ:

Пример 3.

Разделим уравнение на (по условию).

Ответ:

Пример 4.

Найдите, если.

Здесь нужно не делить, а умножать. Умножим все уравнение на:

Произведем замену и решим квадратное уравнение:

Произведя обратную замену, получим ответ:

Ответ:

Решение однородных тригонометрических уравнений.

Решение однородных тригонометрических уравнений ничем не отличается от способов решения, описанных выше. Только здесь, помимо прочего, нужно немного знать тригонометрию. И уметь решать тригонометрические уравнения (для этого можешь прочитать раздел ).

Рассмотрим такие уравнения на примерах.

Пример 5.

Решите уравнение.

Мы видим типичное однородное уравнение: и - это неизвестные, а сумма их степеней в каждом слагаемом равна.

Подобные однородные уравнения решаются не сложно, но перед тем, как разделить уравнения на, рассмотрим случай, когда

В этом случае уравнение примет вид: , значит. Но синус и косинус не могут одновременно быть равны, ведь по основному тригонометрическому тождеству. Поэтому, и на него можно смело делить:

Так как уравнение приведенное, то по теореме Виета:

Ответ:

Пример 6.

Решите уравнение.

Как и в примере, нужно разделить уравнение на. Рассмотрим случай, когда:

Но синус и косинус не могут одновременно быть равны, ведь по основному тригонометрическому тождеству. Поэтому.

Сделаем замену и решим квадратное уравнение:

Сделаем обратную замену и найдем и:

Ответ:

Решение однородных показательных уравнений.

Однородные уравнения решаются так же, как рассмотренных выше. Если ты забыл, как решать показательные уравнения - посмотри соответствующий раздел ()!

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 7.

Решите уравнение

Представим как:

Мы видим типичное однородное уравнение, с двумя переменными и суммой степеней. Разделим уравнение на:

Как можно заметить, произведя замену, мы получим приведенное квадратное уравнение (при этом не нужно опасаться деления на ноль - всегда строго больше нуля):

По теореме Виета:

Ответ: .

Пример 8.

Решите уравнение

Представим как:

Разделим уравнение на:

Произведем замену и решим квадратное уравнение:

Корень не удовлетворяет условию. Произведем обратную замену и найдем:

Ответ:

ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Сначала на примере одной задачки напомню что такое однородные уравнения и что из себя представляет решение однородных уравнений.

Решите задачу:

Найдите, если.

Здесь можно заметить любопытную вещь: если поделить каждое слагаемое на, получим:

То есть, теперь нет отдельных и, - теперь переменной в уравнении является искомая величина. И это обычное квадратное уравнение, которое легко решить с помощью теоремы Виета: произведение корней равно, а сумма - это числа и.

Ответ:

Уравнения вида

называется однородным. То есть, это уравнение с двумя неизвестными, в каждом слагаемом которого одинаковая сумма степеней этих неизвестных. Например, в примере выше эта сумма равна. Решение однородных уравнений осуществляется делением на одну из неизвестных в этой степени:

И последующей заменой переменных: . Таким образом получаем уравнение степени с одной неизвестной:

Чаще всего нам будут встречаться уравнения второй степени (то есть квадратные), а их решать мы умеем:

Отметим, что делить (и умножать) все уравнение на переменную можно только если мы убеждены, что эта переменная не может быть равна нулю! Например, если нас просят найти, сразу понимаем, что, поскольку на делить нельзя. В случаях, когда это не так очевидно, необходимо отдельно проверять случай когда эта переменная равна нулю. Например:

Решите уравнение.

Решение:

Видим здесь типичное однородное уравнение: и - это неизвестные, а сумма их степеней в каждом слагаемом равна.

Но, прежде чем разделить на и получить квадратное уравнение относительно, мы должны рассмотреть случай, когда. В этом случае уравнение примет вид: , значит, . Но синус и косинус не могут быть одновременно равны нулю, ведь по основному тригонометрическому тождеству: . Поэтому, и на него можно смело делить:

Надеюсь, это решение полностью понятно? Если нет, прочитай раздел . Если же непонятно, откуда взялось, тебе нужно вернуться еще раньше - к разделу .

Реши сам:

1. Найдите, если.
2. Найдите, если.
3. Решите уравнение.

Здесь я кратко напишу непосредственно решение однородных уравнений:

Решения:

Ответ: .

А здесь надо не делить, а умножать:

Ответ:

Если ты еще не проходил, этот пример можно пропустить.

Так как здесь нам нужно делить на, убедимся сперва, сто он не равен нулю:

А это невозможно.

Ответ: .

ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Решение всех однородных уравнений сводится к делению на одну из неизвестных в степени и дальнейшей заменой переменных.

Алгоритм:

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время .

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

1. Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье -
2. Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 899 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Думаю, нам стоит начать с истории такого славного математического инструмента как дифференциальные уравнения. Как и все дифференциальные и интегральные исчисления, эти уравнения были изобретены Ньютоном в конце 17-го века. Он считал именно это своё открытие настолько важным, что даже зашифровал послание, которое сегодня можно перевести примерно так: "Все законы природы описываются дифференциальными уравнениями". Это может показаться преувеличением, но всё так и есть. Любой закон физики, химии, биологии можно описать этими уравнениями.

Огромный вклад в развитие и создание теории дифференциальных уравнений внесли математики Эйлер и Лагранж. Уже в 18-м веке они открыли и развили то, что сейчас изучают на старших курсах университетов.

Новая веха в изучении дифференциальных уравнений началась благодаря Анри Пуанкаре. Он создал «качественную теорию дифференциальных уравнений», которая в сочетании с теорией функций комплексного переменного внесла значительный вклад в основание топологии - науки о пространстве и его свойствах.

Что такое дифференциальные уравнения?

Многие боятся одного словосочетания Однако в этой статье мы подробно изложим всю суть этого очень полезного математического аппарата, который на самом деле не так сложен, как кажется из названия. Для того чтобы начать рассказывать про дифференциальные уравнения первого порядка, следует сначала познакомиться с основными понятиями, которые неотъемлемо связаны с этим определением. И начнём мы с дифференциала.

Дифференциал

Многие знают это понятие ещё со школы. Однако всё же остановимся на нём поподробнее. Представьте себе график функции. Мы можем увеличить его до такой степени, что любой его отрезок примет вид прямой линии. На ней возьмём две точки, находящиеся бесконечно близко друг к другу. Разность их координат (x или y) будет бесконечно малой величиной. Ее и называют дифференциалом и обозначают знаками dy (дифференциал от y) и dx (дифференциал от x). Очень важно понимать, что дифференциал не является конечной величиной, и в этом заключается его смысл и основная функция.

А теперь необходимо рассмотреть следующий элемент, который нам пригодится при объяснении понятия дифференциального уравнения. Это - производная.

Производная

Все мы наверняка слышали в школе и это понятие. Говорят, что производная - это скорость роста или убывания функции. Однако из этого определения многое становится непонятным. Попробуем объяснить производную через дифференциалы. Давайте вернёмся к бесконечно малому отрезку функции с двумя точками, которые находятся на минимальном расстоянии друг от друга. Но даже за это расстояние функция успевает измениться на какую-то величину. И чтобы описать это изменение и придумали производную, которую иначе можно записать как отношение дифференциалов: f(x)"=df/dx.

Теперь стоит рассмотреть основные свойства производной. Их всего три:

1. Производную суммы или разности можно представить как сумму или разность производных: (a+b)"=a"+b" и (a-b)"=a"-b".
2. Второе свойство связано с умножением. Производная произведения - это сумма произведений одной функции на производную другой: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. Производную разности записать можно в виде следующего равенства: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Все эти свойства нам пригодятся для нахождения решений дифференциальных уравнений первого порядка.

Также бывают частные производные. Допустим, у нас есть функция z, которая зависит от переменных x и y. Чтобы вычислить частную производную этой функции, скажем, по x, нам необходимо принять переменную y за постоянную и просто продифференцировать.

Интеграл

Другое важное понятие - интеграл. По сути это прямая противоположность производной. Интегралы бывают нескольких видов, но для решения простейших дифференциальных уравнений нам понадобятся самые тривиальные

Итак, Допустим, у нас есть некоторая зависимость f от x. Мы возьмём от неё интеграл и получим функцию F(x) (часто её называют первообразной), производная от которой равна первоначальной функции. Таким образом F(x)"=f(x). Отсюда следует также, что интеграл от производной равен первоначальной функции.

При решении дифференциальных уравнений очень важно понимать смысл и функцию интеграла, так как придётся очень часто их брать для нахождения решения.

Уравнения бывают разными в зависимости от своей природы. В следующем разделе мы рассмотрим виды дифференциальных уравнений первого порядка, а потом и научимся их решать.

Классы дифференциальных уравнений

"Диффуры" делятся по порядку производных, участвующих в них. Таким образом бывает первый, второй, третий и более порядок. Их также можно поделить на несколько классов: обыкновенные и в частных производных.

В этой статье мы рассмотрим обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры и способы их решения мы также обсудим в следующих разделах. Будем рассматривать только ОДУ, потому что это самые распространённые виды уравнений. Обыкновенные делятся на подвиды: с разделяющимися переменными, однородные и неоднородные. Далее вы узнаете, чем они отличаются друг от друга, и научитесь их решать.

Кроме того, эти уравнения можно объединять, чтобы после у нас получилась система дифференциальных уравнений первого порядка. Такие системы мы тоже рассмотрим и научимся решать.

Почему мы рассматриваем только первый порядок? Потому что нужно начинать с простого, а описать всё, связанное с дифференциальными уравнениями, в одной статье просто невозможно.

Уравнения с разделяющимися переменными

Это, пожалуй, самые простые дифференциальные уравнения первого порядка. К ним относятся примеры, которые можно записать так: y"=f(x)*f(y). Для решения этого уравнения нам понадобится формула представления производной как отношения дифференциалов: y"=dy/dx. С помощью неё получаем такое уравнение: dy/dx=f(x)*f(y). Теперь мы можем обратиться к методу решения стандартных примеров: разделим переменные по частям, т. е. перенесём всё с переменной y в часть, где находится dy, и так же сделаем с переменной x. Получим уравнение вида: dy/f(y)=f(x)dx, которое решается взятием интегралов от обеих частей. Не стоит забывать и о константе, которую нужно ставить после взятия интеграла.

Решение любого "диффура" - это функция зависимости x от y (в нашем случае) или, если присутствует численное условие, то ответ в виде числа. Разберём на конкретном примере весь ход решения:

Переносим переменные в разные стороны:

Теперь берём интегралы. Все их можно найти в специальной таблице интегралов. И получаем:

ln(y) = -2*cos(x) + C

Если требуется, мы можем выразить "игрек" как функцию от "икс". Теперь можно сказать, что наше дифференциальное уравнение решено, если не задано условие. Может быть задано условие, например, y(п/2)=e. Тогда мы просто подставляем значение этих переменных в решение и находим значение постоянной. В нашем примере оно равно 1.

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Теперь переходим к более сложной части. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка можно записать в общем виде так: y"=z(x,y). Следует заметить, что правая функция от двух переменных однородна, и её нельзя разделить на две зависимости: z от x и z от y. Проверить, является ли уравнение однородным или нет, достаточно просто: мы делаем замену x=k*x и y=k*y. Теперь сокращаем все k. Если все эти буквы сократились, значит уравнение однородное и можно смело приступать к его решению. Забегая вперёд, скажем: принцип решения этих примеров тоже очень прост.

Нам нужно сделать замену: y=t(x)*x, где t - некая функция, которая тоже зависит от x. Тогда мы можем выразить производную: y"=t"(x)*x+t. Подставляя всё это в наше исходное уравнение и упрощая его, мы получаем пример с разделяющимися переменными t и x. Решаем его и получаем зависимость t(x). Когда мы ее получили, то просто подставляем в нашу предыдущую замену y=t(x)*x. Тогда получаем зависимость y от x.

Чтобы было понятнее, разберём пример: x*y"=y-x*e y/x .

При проверке с заменой всё сокращается. Значит, уравнение действительно однородное. Теперь делаем другую замену, о которой мы говорили: y=t(x)*x и y"=t"(x)*x+t(x). После упрощения получаем следующее уравнение: t"(x)*x=-e t . Решаем получившийся пример с разделёнными переменными и получаем: e -t =ln(C*x). Нам осталось только заменить t на y/x (ведь если y=t*x, то t=y/x), и мы получаем ответ: e -y/x =ln(x*С).

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Пришло время рассмотреть ещё одну обширную тему. Мы разберём неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка. Чем они отличаются от предыдущих двух? Давайте разберёмся. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка в общем виде можно записать таким равенством: y" + g(x)*y=z(x). Стоит уточнить, что z(x) и g(x) могут являться постоянными величинами.

А теперь пример: y" - y*x=x 2 .

Существует два способа решения, и мы по порядку разберём оба. Первый - метод вариации произвольных констант.

Для того чтобы решить уравнение этим способом, необходимо сначала приравнять правую часть к нулю и решить получившееся уравнение, которое после переноса частей примет вид:

ln|y|=x 2 /2 + C;

y=e x2/2 *у С =C 1 *e x2/2 .

Теперь надо заменить константу C 1 на функцию v(x), которую нам предстоит найти.

Проведём замену производной:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

И подставим эти выражения в исходное уравнение:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Можно видеть, что в левой части сокращаются два слагаемых. Если в каком-то примере этого не произошло, значит вы что-то сделали не так. Продолжим:

v"*e x2/2 = x 2 .

Теперь решаем обычное уравнение, в котором нужно разделить переменные:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

Чтобы извлечь интеграл, нам придётся применить здесь интегрирование по частям. Однако это не тема нашей статьи. Если вам интересно, вы можете самостоятельно научиться выполнять такие действия. Это не сложно, и при достаточном навыке и внимательности не отнимает много времени.

Обратимся ко второму способу решения неоднородных уравнений: методу Бернулли. Какой подход быстрее и проще - решать только вам.

Итак, при решении уравнения этим методом нам необходимо сделать замену: y=k*n. Здесь k и n - некоторые зависящие от x функции. Тогда производная будет выглядеть так: y"=k"*n+k*n". Подставляем обе замены в уравнение:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Группируем:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

Теперь надо приравнять к нулю то, что находится в скобках. Теперь, если объединить два получившихся уравнения, получается система дифференциальных уравнений первого порядка, которую нужно решить:

Первое равенство решаем, как обычное уравнение. Для этого нужно разделить переменные:

Берём интеграл и получаем: ln(n)=x 2 /2. Тогда, если выразить n:

Теперь подставляем получившееся равенство во второе уравнение системы:

k"*e x2/2 =x 2 .

И преобразовывая, получаем то же самое равенство, что и в первом методе:

dk=x 2 /e x2/2 .

Мы также не будем разбирать дальнейшие действия. Стоит сказать, что поначалу решение дифференциальных уравнений первого порядка вызывает существенные трудности. Однако при более глубоком погружении в тему это начинает получаться всё лучше и лучше.

Где используются дифференциальные уравнения?

Очень активно дифференциальные уравнения применяются в физике, так как почти все основные законы записываются в дифференциальной форме, а те формулы, которые мы видим - решение этих уравнений. В химии они используются по той же причине: основные законы выводятся с их помощью. В биологии дифференциальные уравнения используются для моделирования поведения систем, например хищник - жертва. Они также могут использоваться для создания моделей размножения, скажем, колонии микроорганизмов.

Как дифференциальные уравнения помогут в жизни?

Ответ на этот вопрос прост: никак. Если вы не учёный или инженер, то вряд ли они вам пригодятся. Однако для общего развития не помешает знать, что такое дифференциальное уравнение и как оно решается. И тогда вопрос сына или дочки "что такое дифференциальное уравнение?" не поставит вас в тупик. Ну а если вы учёный или инженер, то и сами понимаете важность этой темы в любой науке. Но самое главное, что теперь на вопрос "как решить дифференциальное уравнение первого порядка?" вы всегда сможете дать ответ. Согласитесь, всегда приятно, когда понимаешь то, в чём люди даже боятся разобраться.

Основные проблемы при изучении

Основной проблемой в понимании этой темы является плохой навык интегрирования и дифференцирования функций. Если вы плохо берёте производные и интегралы, то, наверное, стоит ещё поучиться, освоить разные методы интегрирования и дифференцирования, и только потом приступать к изучению того материала, что был описан в статье.

Некоторые люди удивляются, когда узнают, что dx можно переносить, ведь ранее (в школе) утверждалось, что дробь dy/dx неделима. Тут нужно почитать литературу по производной и понять, что она является отношением бесконечно малых величин, которыми можно манипулировать при решении уравнений.

Многие не сразу осознают, что решение дифференциальных уравнений первого порядка - это зачастую функция или неберущийся интеграл, и это заблуждение доставляет им немало хлопот.

Что ещё можно изучить для лучшего понимания?

Лучше всего начать дальнейшее погружение в мир дифференциального исчисления со специализированных учебников, например, по математическому анализу для студентов нематематических специальностей. Затем можно переходить и к более специализированной литературе.

Стоит сказать, что, кроме дифференциальных, есть ещё интегральные уравнения, так что вам всегда будет к чему стремиться и что изучать.

Заключение

Надеемся, что после прочтения этой статьи у вас появилось представление о том, что такое дифференциальные уравнения и как их правильно решать.

В любом случае математика каким-либо образом пригодится нам в жизни. Она развивает логику и внимание, без которых каждый человек как без рук.